1. Comparar tratamientos en condiciones heterogéneas

Comparar tratamientos exige organizar condiciones en las que sus diferencias puedan interpretarse. Un terreno tiene zonas de fertilidad desigual; animales de una misma camada comparten antecedentes; una máquina cambia entre jornadas. Si estas diferencias quedan mezcladas con la respuesta al tratamiento, la comparación pierde precisión. El diseño por bloques incorpora información previa sobre esa heterogeneidad para construir comparaciones locales.

La pregunta principal es qué tratamientos producen respuestas distintas. El factor de bloqueo representa otra fuente de variación relevante: zona, camada, lote o jornada. Un bloque reúne unidades relativamente semejantes respecto de esa fuente; los tratamientos se asignan aleatoriamente dentro de él. La homogeneidad es relativa a atributos pertinentes, nunca identidad absoluta entre unidades. [1]

Un diseño completamente aleatorizado puede ser válido en un conjunto heterogéneo. Sin embargo, puede dedicar parte de su error residual a diferencias que un bloqueo bien elegido permitiría explicar. Si el factor de bloqueo aporta poco, la ganancia de precisión puede ser escasa o quedar contrarrestada por el consumo de grados de libertad.

2. Unidad, tratamiento, bloque y réplica

Medir diez plantas de una parcela no equivale a disponer de diez parcelas aleatorizadas. Las submuestras pueden mejorar la medición de esa unidad, pero tratarlas como réplicas independientes produce pseudorreplicación y exagera la información experimental.

En un ensayo clínico multicéntrico, un centro puede actuar como estrato de aleatorización y como componente del análisis. Esto no implica que cada centro constituya un bloque completo con un solo paciente por tratamiento. Tampoco deben confundirse el bloqueo por características pronósticas y los bloques permutados utilizados para equilibrar asignaciones durante el reclutamiento.

3. Qué se aleatoriza y qué se modela

La aleatorización es un procedimiento de asignación. Los efectos fijos y aleatorios son formulaciones del modelo. La independencia estadística describe relaciones probabilísticas. La independencia lineal describe relaciones entre vectores. Cada concepto responde a una pregunta distinta.

• Asignación aleatoria: dentro de cada bloque se sortean las posiciones de los tratamientos respetando las restricciones del diseño. Con cuatro tratamientos usados una vez, la asignación es una permutación: asignar uno a una parcela restringe las opciones de las restantes.
• Efectos fijos: interesan los niveles concretos incluidos; por ejemplo, cuatro formulaciones elegidas para compararlas.
• Efectos aleatorios: se representa una población de niveles y una distribución de sus efectos. Para bloques, un modelo posible es β_j ∼ N(0, σ_B²), si la selección y el objetivo inferencial lo justifican. [2]

Es posible asignar aleatoriamente tratamientos cuyos efectos se modelan como fijos. Las asignaciones pueden generarse independientemente entre bloques aunque, dentro de cada bloque, estén sujetas a restricciones. Esa propiedad no demuestra por sí sola la independencia de los errores: proximidad espacial, mediciones repetidas o interferencia entre unidades pueden introducir dependencia.

4. Gradientes, medias y varianzas

La variación sistemática entre bloques puede afectar el nivel esperado de respuesta sin alterar su varianza residual. Conviene separar tres objetos: la función de media, la función de varianza y la estructura de dependencia. Un efecto de bloque aditivo modifica la primera; modelar heterocedasticidad modifica la segunda; una estructura espacial o temporal de covarianza modifica la tercera.

La homocedasticidad expresa constancia de la varianza pertinente; heterocedasticidad, su variación. La homogeneidad de varianzas entre grupos es una formulación habitual de la primera. Estas propiedades no pertenecen exclusivamente a una estructura de datos y deben definirse respecto del modelo y del condicionamiento utilizados. [3]

Si la fertilidad cambia principalmente en una dirección, pueden delimitarse franjas estrechas a lo largo de esa dirección y extendidas aproximadamente sobre niveles semejantes. La ubicación real exige conocimiento del terreno. Con factores categóricos, como camada o lote, no es necesario introducir derivadas.

Batabyal, Sarkar y Mandal estudiaron rábano en gradientes de fertilidad establecidos, con tratamientos de NPK y estiércol. Su trabajo aporta un contexto material para el control de la heterogeneidad; las cifras del ejemplo siguiente son una construcción didáctica independiente. [5]

5. El modelo de bloques completos al azar

En el diseño clásico que usaremos, hay v tratamientos, b bloques y una unidad para cada combinación tratamiento–bloque. Cada bloque contiene todos los tratamientos exactamente una vez: k = v. Así, el número total de observaciones es n = vb y cada tratamiento tiene b réplicas. Existen diseños completos con mayor replicación interna; aquí fijamos expresamente el caso de una observación por celda.

Para identificar los parámetros bajo una codificación de suma cero, imponemos ∑_iτ_i = 0 y ∑_jβ_j = 0. También puede emplearse una categoría de referencia. La redundancia de una codificación no significa que un tratamiento carezca de interés: señala que algunos parámetros necesitan restricciones para representarse de manera única.

Las comparaciones específicas necesitan estimaciones, intervalos y, cuando corresponda, un ajuste por multiplicidad. Con bloques aleatorios compartidos, las respuestas del mismo bloque pueden estar correlacionadas marginalmente; la independencia del error condicional es otra cuestión. Por ello, el modelo debe corresponder al nivel de inferencia elegido.

6. Del terreno a los datos: un ejemplo completo

Consideremos cuatro formulaciones fertilizantes A, B, C y D, tres bloques de fertilidad creciente y doce parcelas. La respuesta es un índice didáctico de rendimiento en unidades arbitrarias. Las siguientes asignaciones ilustran tres posibles permutaciones dentro de bloque; no son la salida del sorteo opcional del código R.

La media general es 33,50. Las medias de bloque difieren en diez unidades sucesivas. Bajo suma cero, los efectos de bloque estimados son −10, 0 y 10; los de tratamiento son aproximadamente −5,83, −1,83, 1,83 y 5,83. Son estimaciones construidas a partir de datos simulados, sin pretensión de representar un ensayo agrícola real.

Para tratamientos, F(3, 6) = 168,25 y p ≈ 0,00000353. El resultado expresa incompatibilidad con igualdad de medias bajo el modelo; no prueba que todo supuesto sea verdadero ni mide por sí solo la relevancia práctica. La diferencia media D−A es aproximadamente 11,67 unidades. Su intervalo de confianza t del 95 %, sin ajuste por comparaciones múltiples, es aproximadamente [10,33; 13,00], usando error estándar √(2CM_E/b) y seis grados de libertad. Es un intervalo para este contraste bajo los supuestos indicados.

7. Supuestos, diagnóstico y límites

• Aditividad: el modelo supone diferencias de tratamiento constantes entre bloques. Con una observación por celda, incluir todas las interacciones tratamiento–bloque satura las doce observaciones y deja cero grados de libertad residuales. Una interacción irrestricta no puede separarse del error puro.
• Errores: en el ANOVA normal clásico se asumen errores de media cero, varianza común e independencia en el nivel adecuado. La normalidad sostiene la distribución F exacta; la aleatorización admite además enfoques inferenciales propios.
• Diagnóstico: examinar residuos frente a ajustes, tratamientos, bloques y orden real de ejecución; usar un gráfico Q–Q y evaluar patrones espaciales cuando sean pertinentes. Con doce datos, el diagnóstico tiene poca potencia. [6]
• Interferencia y medición: escorrentía de fertilizante, contagio o deriva instrumental pueden violar las condiciones de comparación. El bloqueo requiere medidas operativas que acompañen al esquema estadístico.
• Datos faltantes: conservar la estructura del modelo y revisar estimabilidad y sumas de cuadrados. La tabla ANOVA equilibrada anterior deja de aplicarse automáticamente.

Cuando hay varianzas distintas pueden considerarse mínimos cuadrados generalizados o modelos con estructuras de varianza; cuando hay dependencia, estructuras de covarianza o modelos mixtos. Una transformación requiere interpretación sustantiva. Con pocas unidades, los errores estándar robustos tampoco constituyen una solución automática.

La replicación, el número de bloques y el efecto mínimo de interés deben planificarse antes del ensayo. La significación observada después no sustituye un análisis prospectivo de precisión o potencia.

8. Cuando no caben todos los tratamientos

Un bloque completo puede ser demasiado grande para mantener homogeneidad, o puede no haber suficientes unidades semejantes. Con veinte tratamientos y una capacidad de cuatro unidades por bloque, cada bloque contendrá un subconjunto. Esto conduce a diseños incompletos: su estructura debe permitir comparaciones ajustadas por bloque, aunque dos tratamientos no coincidan directamente en todos ellos.

En lenguaje experimental, el bloque agrupa unidades. En la representación combinatoria de un diseño binario, se registra el conjunto de etiquetas de tratamiento presentes en él. Es un cambio de representación que conviene hacer explícito; los bloques no son necesariamente regiones del espacio muestral probabilístico.

Equirreplicación no significa igual repetición dentro de cada bloque. Un diseño no binario también puede ser equirreplicado. Y repetir una composición de bloque puede aportar nuevas observaciones: no equivale a duplicar algebraicamente información idéntica.

9. BIBD: balance mediante conteos

Un diseño de bloques incompletos balanceados, BIBD, es binario, tiene bloques de tamaño común k < v, cada tratamiento aparece r veces y cada pareja de tratamientos coincide en λ bloques. Utilizaremos la convención no trivial 1 < k < v y λ > 0.

Hay seis asignaciones: A, B y C aparecen dos veces cada uno. Las tres parejas AB, AC y BC coinciden exactamente una vez. Esta comprobación por enumeración demuestra que el diseño existe para esos parámetros.

Estas igualdades y la integridad de los parámetros son necesarias, pero no suficientes para cualquier conjunto propuesto. Para un BIBD no trivial también vale la desigualdad de Fisher b ≥ v. Una lista de parámetros debe acompañarse de una construcción o de un resultado de existencia aplicable. [8]

10. De la incidencia a la información estadística

Fijemos filas como tratamientos y columnas como bloques. La entrada n_ij cuenta cuántas unidades del bloque j reciben el tratamiento i. En un diseño binario vale cero o uno. Una estructura de incidencia establece pertenencia; no necesita distancias ni una métrica.

El producto cuenta coincidencias: para A y B se suman los productos de sus incidencias en los mismos bloques. Solo B1 aporta uno. La matriz N es un registro tratamiento–bloque; la matriz X del modelo tiene una fila por observación y columnas para sus parámetros. No son intercambiables.

Esta expresión resulta de eliminar los parámetros de bloque en las ecuaciones normales. En el BIBD, R = rI y K = kI. Sustituir la identidad de concurrencias y usar r(k−1) = λ(v−1) da el resultado siguiente:

Sobre el espacio de contrastes, C actúa como multiplicación por λv/k. Por ello, el análisis intrabloque produce Var(τ̂_i−τ̂_h) = 2kσ²/(λv) para i ≠ h. En el ejemplo es 4σ²/3. La precisión igual para todas las parejas se deduce de la estructura bajo estos supuestos; balance combinatorio y heterocedasticidad son propiedades distintas.

11. Balance parcial y otras extensiones

Los PBIBD organizan parejas de tratamientos mediante clases de asociación; el número de coincidencias puede ser λ₁, λ₂, etc., según la clase. Un esquema de asociación impone regularidades adicionales a esas relaciones: clasificar parejas por frecuencia sin comprobarlas no basta. Las matrices de las relaciones forman un álgebra que permite estudiar la estructura y su precisión. Existen conexiones con grupos de permutaciones, sin que todo esquema sea simplemente un grupo. [10]

Como ejemplo propio, considérese B1 = AB, B2 = BC, B3 = CD y B4 = DA. Cada tratamiento aparece dos veces y cada bloque tiene tamaño dos. Las parejas vecinas del ciclo coinciden una vez; AC y BD no coinciden. Es un diseño conectado de dos clases —vecinos y opuestos—, no un BIBD. Los pares opuestos se comparan indirectamente.

En este ciclo, C tiene autovalores 0, 1, 1 y 2. Bajo el mismo modelo intrabloque, la varianza de una diferencia entre vecinos es 1,5σ² y entre opuestos 2σ². Esta derivación muestra qué se pierde respecto del balance completo: las parejas ya no tienen necesariamente igual precisión.

Diseños α, de celosía, cíclicos, resolubles, con bloques de tamaño desigual o con replicación desigual responden a restricciones distintas y pueden compartir propiedades. La selección necesita objetivos de comparación y criterios de eficiencia definidos; ninguna etiqueta garantiza optimalidad para toda situación. La monografía de Dey ofrece un recorrido especializado por estas familias. [11]

El balance de varianza expresa igualdad de precisión de los contrastes por parejas bajo un modelo. El balance de eficiencia se refiere a los factores de eficiencia canónica respecto de una referencia especificada. En el BIBD anterior todos esos factores de contraste coinciden. Con replicaciones o tamaños desiguales, sus definiciones y normalizaciones necesitan mayor cuidado; no deben identificarse sin condiciones.

12. El control local como organización material de la comparación

El bloqueo permite pensar la objetividad experimental como una práctica organizada. Las unidades llegan al experimento con condiciones materiales y trayectorias previas. Seleccionar cuáles diferencias registrar y cómo distribuir tratamientos determina qué comparaciones podrán sostenerse y con qué precisión.

Desde una interpretación materialista, la abstracción estadística se construye mediante operaciones concretas: delimitar parcelas, identificar camadas, registrar lotes, asignar condiciones y medir respuestas. El modelo conserva ciertas determinaciones de ese proceso y concentra otras en el error. La distinción entre efecto de tratamiento, efecto de bloque y residuo debe juzgarse por su correspondencia con el mecanismo estudiado.

Un atributo es secundario respecto de una pregunta particular, no necesariamente respecto de toda investigación. La fertilidad puede ser una fuente de variación que se controla al comparar formulaciones, o convertirse en objeto principal de otro estudio. También puede modificar sus efectos, haciendo necesario investigar interacción.

Esta lectura epistemológica es una interpretación del procedimiento. Las definiciones de balance, rango o estimabilidad conservan sus condiciones matemáticas específicas. Su articulación con una filosofía de la ciencia gana fuerza cuando explica decisiones y límites verificables del experimento.

13. Reproducción en R

El siguiente código usa únicamente R base. Reconstruye los doce datos, ajusta los dos modelos y verifica la incidencia del BIBD. El orden de la tabla es bloque–tratamiento; no representa un orden temporal de ejecución.

datos <- data.frame(
  bloque = factor(rep(c("B1", "B2", "B3"), each = 4)),
  tratamiento = factor(rep(c("A", "B", "C", "D"), 3)),
  respuesta = c(18, 22, 25, 29, 28, 31, 36, 39, 37, 42, 45, 50)
)

sin_bloques <- lm(respuesta ~ tratamiento, data = datos)
con_bloques <- lm(respuesta ~ tratamiento + bloque, data = datos)
anova(sin_bloques)
anova(con_bloques)
aggregate(respuesta ~ tratamiento, datos, mean)
confint(con_bloques)  # coefficient intervals, not all pairwise contrasts

N <- rbind(A = c(1, 1, 0), B = c(1, 0, 1), C = c(0, 1, 1))
colnames(N) <- c("B1", "B2", "B3")
N %*% t(N)
C_info <- diag(rowSums(N)) - N %*% diag(1 / colSums(N)) %*% t(N)
eigen(C_info, symmetric = TRUE)$values

En el ANOVA completo de estos datos equilibrados, los términos de tratamiento y bloque son ortogonales: el orden de inclusión no altera sus sumas de cuadrados. En diseños incompletos o desequilibrados deben especificarse las hipótesis y los ajustes; una suma de cuadrados secuencial no se interpreta automáticamente como efecto ajustado por todos los términos.

Los intervalos de confint() corresponden a la parametrización del modelo y no constituyen todas las comparaciones entre parejas. Los diagnósticos y sus limitaciones deben acompañar al cálculo. El archivo R adicional incluye comprobaciones numéricas y un sorteo prospectivo independiente, sin modificar la figura ni atribuirle retrospectivamente una semilla.

14. Criterios para diseñar y comunicar el experimento

1. Definir la respuesta, el efecto mínimo relevante y la unidad experimental real.
2. Elegir factores de bloqueo a partir del conocimiento del proceso y registrar cómo se formaron los bloques.
3. Comprobar disponibilidad de unidades, tamaños de bloque, replicación y conectividad.
4. Generar y conservar la asignación aleatoria antes de aplicar tratamientos.
5. Prever interferencia, pérdidas de unidades, mediciones repetidas y variaciones de ejecución.
6. Elegir un modelo compatible con la asignación, las dependencias y la población de inferencia.
7. Informar efectos e incertidumbre, supuestos, diagnósticos y datos reproducibles.

La precisión experimental empieza en cómo se organizan las comparaciones.

Un buen diseño por bloques enlaza conocimiento del fenómeno, asignación aleatoria y estructura matemática. Los bloques completos ofrecen una comparación directa y equilibrada; los incompletos exigen organizar la incidencia y asegurar la estimabilidad. En ambos casos, el alcance de la conclusión depende de las condiciones efectivamente construidas.

Referencias y lecturas especializadas

Las demostraciones por conteo, los datos y las derivaciones numéricas de los ejemplos se desarrollan en este artículo. Las fuentes siguientes fundamentan sus conceptos y ofrecen ampliaciones.

1. NIST/SEMATECH. Randomized block designs. e-Handbook of Statistical Methods, §5.3.3.2.
2. Penn State, Department of Statistics. Random Effects and Introduction to Mixed Models. STAT 502, Lesson 6.
3. NIST/SEMATECH. Levene Test for Equality of Variances. e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5.10.
4. Daniel J. Kleitman, MIT. Gradient. Multivariable Calculus, §3.3.
5. Batabyal, K.; Sarkar, D.; Mandal, B. (2015). Fertilizer-Prescription Equations for Targeted Yield in Radish under Integrated Nutrient Management System. Journal of Horticultural Sciences, 10(1), 18–23.
6. NIST/SEMATECH. Are the model residuals well-behaved?. e-Handbook of Statistical Methods, §5.2.4.
7. Hao Zhang, Purdue University. Incomplete Block Designs. STAT 514, sections on randomization, connectedness, and BIBDs.
8. Joy Morris, University of Lethbridge. Balanced Incomplete Block Designs (BIBD). Combinatorics, §17.1; necessary conditions and existence.
9. Peter J. Cameron (2012). Balanced and variance-balanced designs. 6th Workshop on Statistics, Mathematics and Computation, Covilhã; incidence and concurrence matrices.
10. Peter J. Cameron (2003). Association schemes. The Encyclopaedia of Design Theory; definition, matrix algebra, and partial balance.
11. Aloke Dey (2010). Incomplete Block Designs. Texts and Readings in Mathematics, 57. Hindustan Book Agency; international edition: World Scientific.