“Is that to say we are against Free Trade? No, we are for Free Trade, because by Free Trade all economical laws, with their most astounding contradictions, will act upon a larger scale, upon the territory of the whole earth; and because from the uniting of all these contradictions in a single group, where they will stand face to face, will result the struggle which will itself eventuate in the emancipation of the proletariat.”
Karl Heinrich Marx · Marx-Engels Collected Works, Vol. VI, p. 290
Investigadores de Argonne proponen una forma de eludir localmente la Segunda Ley de la Termodinámica
Durante más de siglo y medio de historia de la física, la Segunda Ley de la Termodinámica, que establece que la entropía siempre aumenta, ha sido tan cercana a lo inviolable como cualquier ley que conozcamos. En este universo, el caos reina. Pero investigadores del Laboratorio Nacional Argonne del Departamento de Energía de Estados Unidos (DOE) anunciaron recientemente que podrían haber descubierto una pequeña laguna en esta famosa máxima. Su investigación, publicada en Nature Scientific Reports, plantea una posible vía hacia una situación en la que la Segunda Ley se viole a escala microscópica.
La Segunda Ley se sustenta en lo que se conoce como el teorema H, según el cual, si se abre una puerta entre dos habitaciones, una caliente y otra fría, ambas acabarán alcanzando un equilibrio templado; la habitación caliente nunca terminará aún más caliente.
Pero incluso en el siglo XX, a medida que avanzaba nuestro conocimiento de la mecánica cuántica, todavía no comprendíamos por completo los orígenes físicos fundamentales del teorema H.
“Lo que hicimos fue formular cómo estas hermosas teorías matemáticas abstractas podían conectarse con nuestra realidad concreta.”
Los avances recientes en un campo denominado teoría cuántica de la información ofrecieron una construcción matemática en la que la entropía aumenta.
«Lo que hicimos fue formular cómo estas hermosas teorías matemáticas abstractas podían conectarse con nuestra realidad concreta», dijo Valerii Vinokur, investigador distinguido de Argonne y autor de correspondencia del estudio.
Los científicos tomaron la teoría cuántica de la información, basada en sistemas matemáticos abstractos, y la aplicaron a la física de la materia condensada, un campo ampliamente estudiado que cuenta con numerosas leyes y experimentos bien conocidos.
«Esto nos permitió formular el teorema H cuántico en relación con cosas que podían observarse físicamente», dijo Ivan Sadovskyy, investigador con nombramiento conjunto en la División de Ciencia de Materiales de Argonne y en el Computation Institute, y otro de los autores del artículo. «Establece una conexión entre procesos bien documentados de la física cuántica y los canales cuánticos teóricos que conforman la teoría cuántica de la información».
El trabajo predice determinadas condiciones bajo las cuales el teorema H podría ser violado y la entropía —a corto plazo— podría, de hecho, disminuir.
Ya en 1867, el físico James Clerk Maxwell describió una forma hipotética de violar la Segunda Ley: si un pequeño ser teórico se sentara junto a la puerta entre las habitaciones caliente y fría y dejara pasar únicamente las partículas que viajaran a determinada velocidad. Este ser hipotético recibe el nombre de «demonio de Maxwell».
«Aunque la violación ocurre únicamente a escala local, las implicaciones son de gran alcance», dijo Vinokur. «Esto nos proporciona una plataforma para la realización práctica de un demonio de Maxwell cuántico, que podría hacer posible una máquina cuántica de movimiento perpetuo a escala local».
Por ejemplo, señaló, el principio podría incorporarse al diseño de un «refrigerador» que pudiera enfriarse de manera remota; es decir, la energía empleada para enfriarlo podría consumirse en cualquier otro lugar.
Los autores señalaron que tienen previsto trabajar estrechamente con un equipo de investigadores experimentales para diseñar un sistema de prueba de concepto.
El estudio, «H-theorem in quantum physics», fue publicado el 12 de septiembre en Nature Scientific Reports. Los otros autores del estudio fueron G. B. Lesovik, del Instituto L. D. Landau de Física Teórica de Rusia y de Theoretische Physik, Suiza; A. V. Lebedev, de Theoretische Physik; y M. V. Suslov, del Instituto de Física y Tecnología de Moscú.
El estudio contó con el apoyo de la Oficina de Ciencia del Departamento de Energía de Estados Unidos, la Fundación Nacional Suiza, el Pauli Center for Theoretical Studies de la ETH Zurich y la Fundación Rusa para la Investigación Básica.
Argonne National Laboratorybusca soluciones a problemas nacionales urgentes en ciencia y tecnología. Como primer laboratorio nacional del país, Argonne lleva a cabo investigación científica básica y aplicada de vanguardia en prácticamente todas las disciplinas científicas. Los investigadores de Argonne trabajan estrechamente con investigadores de cientos de empresas, universidades y organismos federales, estatales y municipales para ayudarlos a resolver sus problemas específicos, impulsar el liderazgo científico de Estados Unidos y preparar al país para un futuro mejor. Con empleados procedentes de más de 60 países, Argonne es administrado porUChicago Argonne, LLCpara laOficina de Ciencia del Departamento de Energía de Estados Unidos.
La Oficina de Ciencia del Departamento de Energía de Estados Unidoses la principal fuente individual de apoyo a la investigación básica en ciencias físicas en Estados Unidos y trabaja para abordar algunos de los desafíos más urgentes de nuestro tiempo. Para obtener más información, visite elsitio web de la Oficina de Ciencia.
2. Información Adicional, Parte II
La segunda ley de la termodinámica afirma que la entropía no puede decrecer. En física clásica es consecuencia del teorema H de Boltzmann que se aplica a las soluciones de su ecuación cinética de transporte. No hay ningún análogo cuántico a esta ecuación que permita demostrar un teorema H cuántico. Físicos del Argonne National Laboratory han publicado en Scientific Reports una versión cuántica del teorema H para sistemas cuya evolución viene dada por un canal cuántico unital (los canales se usan en la teoría cuántica de la información).
Hay canales cuánticos que no son unitales. Por ello estos físicos, y muchos medios que se hacen eco de esta noticia, sugieren que se pueden observar violaciones locales de la segunda ley de la termodinámica (que estarían mediadas por demonios de Maxwell cuánticos). Sin embargo, el artículo no presenta ningún ejemplo concreto; más aún, los dos ejemplos de canales no unitales que se presentan cumplen con la segunda ley. Futuros estudios tendrán que dilucidar si estas violaciones locales son posibles en sistemas físicos reales, así como encontrar algún ejemplo real de demonio de Maxwell cuántico.
El artículo es G. B. Lesovik, A. V. Lebedev, …, V. M. Vinokur, «H-theorem in quantum physics,» Scientific Reports 6: 32815 (12 Sep 2016), doi: 10.1038/srep32815, arXiv:1407.4437 [quant-ph]. Me he enterado gracias a Menéame, que se hace eco del artículo de Louise Lerner, «Argonne researchers posit way to locally circumvent Second Law of Thermodynamics,» Argonne National Laboratory, News, 19 Oct 2016. Hay que tener mucho cuidado con estas notas de prensa de instituciones, porque a veces están escritas por comunicadores científicos que no se han leído el artículo científico.
El teorema H de Ludwig Boltzmann (1872, 1896) es el fundamento estadístico de la segunda ley de la termodinámica. Este teorema afirma que si es la distribución espaciotemporal de la densidad de las moléculas de un gas ideal en el instante , en la posición y con velocidad , entonces la entropía dada por no puede disminuir, es decir, . Para demostrarlo se usa la ecuación de Boltzmann para la función bajo la hipótesis de que las partículas que colisionan en el gas tienen velocidades independientes de su posición (la llamada hipótesis del caos molecular). Pero la mecánica cuántica relaciona las posiciones y velocidades gracias a las relaciones de indeterminación de Heisenberg.
John von Neumann propuso en 1929 una explicación cuántica del origen del crecimiento de la entropía. La entropía se define a partir de la matriz densidad de la mecánica cuántica como . Se demuestra que esta función no decrece, incluso sin recurrir a una ecuación cinética de transporte, usando el procedimiento de medida en la mecánica cuántica. Desde entonces muchos físicos han tratado de obtener una versión cuántica del teorema H de Boltzmann (un buen resumen en el libro de Jochen Gemmer, Mathias Michel, Günter Mahler, «Quantum Thermodynamics. Emergence of Thermodynamic Behavior Within Composite Quantum Systems,» Lecture Notes in Physics, Springer, 2009).
El nuevo artículo se inspira en la teoría cuántica de la información (QIT) y propone describir la dinámica cuántica de un sistema mediante un canal cuántico (QC); en teoría de la información un canal (de datos) es el modelo teórico de un medio de transmisión por el que viajan las señales portadoras de información entre un emisor y un receptor. Todo sistema cuántico se puede interpretar como un canal (cuántico) por que el fluye información. Usando canales cuánticos permite obtener una formulación cuántica del teorema H: La entropía no decrece si la evolución del sistema se describe mediante un canal cuántico unital. La demostración obtenida en el nuevo artículo sólo se aplica a canales unitales y no afirma nada sobre los canales no unitales.
Un canal cuántico es una función positiva de la matriz densidad que preserva la traza, sea ; se dice unital si . En general, un canal cuántico no es unital; véase, por ejemplo, G. G. Amosov, «Estimating the output entropy of a tensor product of two quantum channels,» Theoretical and Mathematical Physics 182: 397–406 (2015), doi: 10.1007/s11232-015-0270-6. El nuevo teorema H cuántico nos habla de canales unitales, pero no concluye nada sobre los que no son unitales. Los autores de este trabajo sugieren que en un sistema cuántico cuya evolución esté descrita por un canal cuántico que no sea unital podría ocurrir que la entropía decrezca localmente y no se cumpla la segunda ley de la termodinámica.
Además de la demostración matemática del teorema H cuántico, el artículo ofrece tres ejemplos concretos de sistemas cuánticas modelados por canales cuánticos. Las tres figuras de esta entrada corresponden a cada uno de ellos. Uno es unital y los otros dos no lo son. Sin embargo, en ambos sistemas no unitales se cumple la segunda ley. Como has leído, el artículo no presenta ningún ejemplo de canal no unital en el que se viole (localmente) dicha ley. Los autores sugieren que es posible. Pero no hay demostración de su afirmación. Este detalle parece haber sido omitido por algunos medios que se han hecho eco de esta noticia.
En resumen, un artículo muy interesante, pero cuya interpretación debe ser realizada con sumo cuidado. Afirmar a la ligera que pueden existir violaciones locales de la segunda ley de la termodinámica en sistemas cuánticos no es lo mismo que presentar un ejemplo concreto. La física cuántica es sutil y la teoría cuántica de la información mucho más. Cuidado con las afirmaciones a la ligera.
Mi nombre es Daniel y les vengo a contar un problema muy grande que seguramente tienen diferentes países, el desempleo. Me tomaré yo como ejemplo. Ya llevo sin mentir como 3 o 4 años buscando empleo, he mandado currículos a todos los trabajados que he encontrado (y que mis posibilidades de bachiller general me lo permitan) y que, salvo en algunas ocasiones, no me han respondido por ningún medio. Una vez me respondió una empresa, me habían llamado para una entrevista, decían que luego me llamaban para concretar la entrevista y nunca me llamaron; eso de únicamente limitarse a contestar el envío de mi currículo, pero no concretar una entrevista me ha pasado ya 4 veces. Yo creo que es por falta de experiencia, pero yo me pongo a pensar que si no me dejan demostrar lo que puedo hacer. He intentado estudiar y superarme, pero a medida la situación económica en mi país se pone más dura he tenido que ir estudiando cada vez cosas por las que cobran menos y aún así cada vez las he tenido que ir abandonando. Estudié los primeros años de Contabilidad en la Universidad y me salí por falta de dinero para seguir, luego estudié para chef y me salí también por falta de dinero para seguir, luego estudié un técnico en manipulación de alimentos y por los mismos motivos lo tuve que abandonar, luego estudié un técnico en Contabilidad y lo terminé, pero no tuve el dinero para pagar los gastos de graduación; además, he llevado otros técnicos como un CNNA (relacionado con CISCO -y sí lo terminé-), pero se defasan rápido y renovarlo es sumamente caro y no tengo el dinero, por lo que tampoco ayuda de mucho. Nadie puede decir que soy un “gustoso”, porque he aplicado a puestos de carnicería y aplicado a trabajos de jardinero de casas que he visto en el periódico o en la calle (y me han pedido experiencia de dos años). Luego he ido a la municipalidad directamente y he dejado mi currículo y hasta la fecha no me han llamado ni nada y el empleo era para recoger basura.
Luego, una vez hice algo así como un experimento social (por decirlo de alguna forma), que consistió en mandar una carta junto a mi currículo (lo mandé a un centro comercial) que decía: Por este medio les solicito atentamente que por favor me den la oportunidad de trabajar sin salario y que mi salario sea la experiencia que puedo obtener en este trabajo, y si en caso les gusta cómo trabajo más adelante un salario (puede ser menos que el mínimo) o al menos dejarme recibir propinas (según el trabajo)… hasta la fecha no he obtenido respuesta. En fin, solo quería compartir mi experiencia por acá y espero que de verdad estos problemas en algún momento terminen, porque como yo somos miles, miles de personas que viven la tragedia del desempleo.
En esta sección se recogen las experiencias y testimonios de distintas y diferentes personas a lo largo del mundo sobre la lucha día a día que realizan en el capitalismo quienes no poseen medios de producción para para simplemente sobrevivir y, en los mejores escenarios, para poder vivir con dignidad. Se hace especial hincapié en el día a día del capitalismo tropical tardío existente en la periferia de los grandes centros industriales, es decir, en América Latina, África y Medio Oriente.
Economía Política · Econometría · Series de Tiempo
Cuando las economías no regresan
Raíces unitarias, rentabilidad y la tendencia decreciente de la tasa de ganancia de Marx
Una lectura guiada del ensayo de José Mauricio Gómez Julián de 2020 sobre
no estacionariedad, choques económicos permanentes, inversión y
la dinámica de largo plazo de la rentabilidad capitalista.
GÓMEZ JULIÁN · 2020 · EXPLICACIÓN · ≈ 15 MIN DE LECTURA
1. La pregunta que subyace a la estadística
Termina una recesión. Las fábricas vuelven a funcionar, el empleo
comienza a aumentar y el producto interno bruto vuelve a crecer.
Pero ¿ha regresado realmente la economía a la trayectoria que seguía
antes de la crisis? ¿O la crisis ha modificado la trayectoria misma?
Esa pregunta, aparentemente sencilla, se encuentra en el centro del
ensayo de Gómez Julián Sobre la ley de la tendencia decreciente
de la tasa media de ganancia: raíces unitarias y no estacionariedad
de las series de tiempo. El trabajo pone en relación un problema
técnico de la econometría de series temporales con un problema mucho
más antiguo de economía política: la tesis de Karl Marx según la cual
la tasa media de ganancia está sometida a una tendencia decreciente
de largo plazo.
La conexión puede parecer extraña en un primer momento. Una
raíz unitaria pertenece al vocabulario de los procesos
estocásticos, la predicción y la econometría. La caída de la tasa de
ganancia de Marx pertenece a las teorías de la acumulación, el cambio
tecnológico, las crisis y las relaciones de clase. El argumento de Gómez Julián
es que ambas cuestiones se encuentran en torno a una idea fundamental:
la historia económica puede dejar huellas permanentes.
Si los choques modifican la trayectoria futura de una economía en lugar
de perturbarla solamente de manera temporal, la historia deja de ser
ruido alrededor del modelo. La historia pasa a formar parte del modelo.
El trabajo trata así la no estacionariedad como algo más que una
propiedad estadística incómoda que debe eliminarse antes de estimar una
regresión. La interpreta como evidencia contraria a una imagen del
capitalismo según la cual toda perturbación termina siendo seguida por
un retorno automático a un equilibrio de largo plazo inalterado.
Sin embargo, el recorrido desde esa proposición hasta Marx tiene varias
etapas. Comprenderlas por separado es la mejor forma de apreciar tanto
la potencia del argumento como los puntos en los que se requiere
cautela econométrica.
· · ·
2. Estacionariedad: ¿olvida la economía?
En el lenguaje cotidiano, algo estacionario permanece aproximadamente
en el mismo lugar. En el análisis de series de tiempo, el significado
es más preciso. Un proceso débilmente estacionario posee una media y
una varianza constantes a lo largo del tiempo, mientras que la
covarianza entre dos observaciones depende de la distancia temporal
que las separa y no del momento histórico concreto en que ocurren.
El problema puede entenderse intuitivamente en términos de
memoria. Imaginemos una variable económica que fluctúa
alrededor de un centro estable. Una recesión la empuja hacia abajo,
pero las fuerzas internas del sistema la conducen progresivamente de
regreso. Después de suficiente tiempo, el efecto del choque inicial se
desvanece. El proceso «olvida».
Imaginemos ahora otro proceso. Un choque negativo empuja la variable
hacia abajo y el período siguiente comienza desde ese nuevo nivel
inferior. Los choques posteriores se añaden a todo lo ocurrido
anteriormente. Los efectos se acumulan. No existe un mecanismo
estadístico interno que garantice el regreso a la trayectoria previa.
Este segundo mundo constituye el hábitat natural de la
raíz unitaria.
Proceso
¿Qué ocurre después de un choque?
Intuición de largo plazo
Estacionario
El efecto del choque desaparece gradualmente.
La serie tiende a regresar hacia una distribución estable.
Estacionario en tendencia
El choque desaparece alrededor de una tendencia determinista.
La trayectoria de largo plazo evoluciona de manera predecible con el tiempo.
Estacionario en diferencias
El choque modifica permanentemente el nivel de la serie.
El nivel sigue una tendencia estocástica; sus diferencias pueden ser estacionarias.
Esta distinción tiene enormes consecuencias económicas. Si el producto
es estacionario en tendencia, una recesión es esencialmente una
desviación temporal respecto de una trayectoria preexistente. Si el
producto contiene una raíz unitaria, la recesión puede modificar la
trayectoria desde la cual continúa desarrollándose el futuro. El
crecimiento puede reanudarse sin que llegue a recuperarse todo el
producto perdido.
Una distinción útil
Recuperar la tasa de crecimiento no equivale a recuperar
el nivel. Una economía puede volver a crecer al 3 % y
permanecer, al mismo tiempo, permanentemente por debajo del nivel
que habría alcanzado si la crisis nunca hubiese ocurrido.
3. Qué significa realmente una raíz unitaria
El trabajo introduce el concepto mediante el modelo autorregresivo más
sencillo. Supongamos que el valor actual de una variable depende de su
valor anterior más una nueva perturbación:
Yt = ρYt−1 + ut
ρ es el coeficiente autorregresivo; ut representa el nuevo choque.
Cuando el valor absoluto de ρ es inferior a uno, la
influencia de un choque antiguo se vuelve progresivamente menor. Bajo
las condiciones habituales, el proceso presenta reversión a la media.
Pero cuando ρ = 1, obtenemos:
Yt − Yt−1 = ut
o, de manera equivalente, ΔYt = ut
Esta es la caminata aleatoria canónica. El nivel de hoy contiene
íntegramente el nivel de ayer. Cada choque queda, por tanto, incorporado
a la trayectoria futura. La varianza del nivel aumenta conforme se
amplía el horizonte temporal y la inferencia estadística convencional
aplicada mecánicamente a estos niveles puede resultar engañosa.
Por esta razón las raíces unitarias están asociadas al conocido problema
de la regresión espuria. Dos series tendenciales sin
relación entre sí pueden producir un coeficiente aparentemente
convincente, un R cuadrado elevado y estadísticos de prueba
aparentemente significativos simplemente porque ambas contienen
tendencias estocásticas persistentes.
La respuesta econométrica no consiste en declarar carente de sentido
cualquier relación entre variables no estacionarias. Los investigadores
preguntan, entre otras cosas, si las variables están
cointegradas: es decir, si existe alguna combinación
estable de largo plazo entre ellas. Alternativamente, transforman y
modelan las series de una forma compatible con sus propiedades de
integración.
Traducción técnica
Una raíz unitaria no significa que una variable se mueva
literalmente al azar en todos los sentidos económicamente
relevantes. Significa que, dentro de la representación estadística,
los choques sobre el nivel no están obligados a desaparecer. La
interpretación económica de esos choques continúa requiriendo
teoría.
· · ·
4. La controversia Mankiw–Krugman: ¿regresará el producto perdido?
Gómez Julián dedica una parte considerable del trabajo a una controversia
extraordinariamente pública desarrollada después de la crisis
financiera de 2008. El Consejo de Asesores Económicos de la
administración Obama esperaba una fuerte recuperación. La intuición
subyacente era conocida: un crecimiento excepcionalmente débil durante
una recesión debería terminar siendo seguido por un crecimiento
excepcionalmente fuerte cuando la economía regresara a la normalidad.
Gregory Mankiw objetó. Apoyándose en trabajos anteriores realizados con
John Campbell, argumentó que el producto agregado muestra una
persistencia mucho mayor de la que sugeriría la imagen convencional de
desviaciones temporales respecto de una tendencia estable. Si una caída
del producto puede contener un componente permanente, no es posible
asumir simplemente que todo lo perdido durante una recesión será
recuperado posteriormente mediante tasas de crecimiento superiores a
las normales.
Recuperación condicional frente a predicción incondicional
El punto de Mankiw era más sutil que afirmar que «las recuperaciones
nunca ocurren». Si se conociera con certeza el momento en que una
recesión termina, un crecimiento fuerte posterior podría ser
perfectamente probable. Sin embargo, una predicción realizada en tiempo
real no dispone de esa información. Continúa existiendo alguna
probabilidad de que la recesión prosiga, de que aparezca otra
contracción o de que una parte de la pérdida represente un cambio
permanente en lugar de una simple subutilización temporal de recursos.
Arnold Kling ofreció una interpretación especialmente intuitiva de la
diferencia. Supongamos que el producto es bajo porque los hogares,
atemorizados, aplazan temporalmente sus compras. Cuando desaparece el
temor, el gasto puede recuperarse: esto se parece a una historia
estacionaria en tendencia. Pero supongamos que los recursos fueron
comprometidos en viviendas equivocadas, tecnologías equivocadas o
formas equivocadas de capital humano. Esos recursos no pueden
simplemente «desgastarse hacia atrás». La economía puede volver a
crecer, pero una parte de la pérdida permanece incorporada a la historia.
Krugman y DeLong: observemos el desempleo
Paul Krugman y Brad DeLong abordaron el problema desde otro ángulo. Un
desempleo elevado y una baja utilización de la capacidad indican la
existencia de recursos ociosos. Si el desempleo se encuentra muy por
encima de lo normal, argumentaban, cabe esperar que disminuya; combinado
con la ley de Okun, esto constituye un argumento a favor de un
crecimiento del producto especialmente rápido durante la recuperación.
DeLong apoyó el argumento mediante una relación entre desempleo y
crecimiento posterior del PIB. La respuesta de Mankiw fue de naturaleza
econométrica: sospechó que la relación aparente estaba siendo impulsada
de manera desproporcionada por las observaciones correspondientes a la
recuperación excepcionalmente intensa posterior a la recesión de
1981–1982.
Los cálculos posteriores examinados por Gómez Julián resultaron reveladores.
Para la muestra completa, la regresión produjo un R cuadrado ajustado de
aproximadamente 11 % y un estadístico t de 3,5. Al excluir ocho
trimestres asociados a la recuperación de la era Reagan, el R cuadrado
ajustado cayó aproximadamente al 5 % y el estadístico t a 2,1. La
relación no desapareció literalmente, pero su aparente fortaleza pasó a
depender mucho más claramente de un episodio histórico concreto.
Un trabajo posterior de David Cushman, también revisado en el ensayo,
avanzó un paso adicional. Cushman preguntó qué habría concluido en 2009
un econometrista que utilizara procedimientos convencionales de
predicción. Sus resultados respaldaron el escepticismo de Mankiw ante
las proyecciones de recuperación más fuertes y consideraron que la
especificación dinámica de la ley de Okun utilizada por DeLong ofrecía
resultados pobres en comparación con pronósticos alternativos.
Por qué este episodio importa para el trabajo
Gómez Julián trata esta controversia como evidencia empírica contra la
suposición automática de reversión a la media en los agregados
macroeconómicos. La cuestión central no es si las recesiones son
seguidas de recuperaciones. Generalmente lo son. La cuestión es si
una recuperación necesariamente restablece la
trayectoria contrafactual que existía antes de la recesión.
5. De los choques persistentes a la rentabilidad
En este punto el trabajo cambia de escala. El argumento deja de
referirse solamente a la predicción del PIB después de una recesión.
Gómez Julián pregunta qué tipo de mecanismo económico podría hacer que la
historia tuviera consecuencias tan persistentes.
Olivier Blanchard proporciona un puente importante. Al analizar las
crisis financieras, Blanchard observó que, entre distintos países, el
producto con frecuencia no regresa a su antigua
trayectoria tendencial después de una crisis. En lugar de ello, la
economía puede permanecer permanentemente por debajo. La diferencia es
profunda: la tasa de crecimiento puede normalizarse mientras el nivel
de actividad productiva permanece permanentemente reducido.
Gómez Julián conecta entonces este fenómeno con la economía política marxista.
La ley de la tendencia decreciente de la tasa de ganancia de Marx no
afirma que la rentabilidad deba disminuir mecánicamente todos los años.
Es una tesis acerca de una fuerza de largo plazo generada por la
acumulación capitalista, que opera dentro de un sistema donde existen
también fuerzas contrarrestantes y recuperaciones cíclicas recurrentes.
En términos marxianos generales, la ganancia debe evaluarse en relación
con el capital adelantado para obtenerla. El desarrollo técnico aumenta
la productividad, pero la competencia capitalista también impulsa a las
empresas a sustituir trabajo vivo por maquinaria, infraestructura y
otras formas de capital acumulado. El trabajo destaca así la relación
entre la composición orgánica del capital, la
rentabilidad y el desarrollo de las fuerzas productivas.
La idea decisiva es que una recuperación cíclica y una tendencia secular
son perfectamente compatibles. Una tasa de ganancia puede caer,
recuperarse intensamente, atravesar otro auge y, aun así, presentar una
trayectoria de largo plazo inferior a través de sucesivos ciclos
históricos.
Figuras 4–7 del trabajo
Gómez Julián reproduce estimaciones recopiladas por Michael Roberts que muestran
una tasa de ganancia de largo plazo decreciente para las principales
economías del G20, una composición orgánica del capital creciente junto
con una rentabilidad descendente y una serie histórica más extensa en la
que aparecen recuperaciones sucesivas dentro de un movimiento general
hacia abajo. Las figuras se emplean como evidencia corroborativa de la
tendencia marxiana y no como estimaciones nuevas realizadas por Gómez Julián.
Es aquí donde la no estacionariedad adquiere su significado de economía
política dentro del trabajo. Si las crisis dejan cicatrices duraderas y
si la variable que organiza la acumulación evoluciona históricamente,
entonces «regresar a la normalidad» no puede significar simplemente
regresar a un centro estadístico eterno. Aquello que se considera normal
después de un ciclo histórico puede ser ya distinto de aquello que se
consideraba normal antes de él.
6. ¿Las ganancias anteceden a la inversión?
El argumento todavía necesita otro vínculo. Incluso si la rentabilidad
sigue una trayectoria importante de largo plazo, ¿por qué debería
organizar el movimiento más amplio del producto y el empleo? La
respuesta de Gómez Julián es la inversión.
La inversión amplía la capacidad productiva, genera demanda de
maquinaria y construcción, reorganiza el trabajo y determina parte de
la producción futura. Si los cambios de rentabilidad preceden
sistemáticamente los cambios en la inversión, la rentabilidad se
convierte en un mecanismo plausible de transmisión entre la teoría
marxiana de la acumulación y la trayectoria macroeconómica observada en
las series temporales.
Kothari, Lewellen y Warner
Utilizando datos empresariales estadounidenses, encuentran que las
ganancias y los rendimientos bursátiles predicen cambios en la
inversión hasta aproximadamente un año y medio hacia adelante y
absorben buena parte del poder predictivo atribuido a variables
como las tasas de interés, la volatilidad, los diferenciales de
crédito y la q de Tobin.
Michael Roberts
El trabajo utiliza las estimaciones internacionales de
rentabilidad de Roberts para argumentar que la caída de largo plazo
no resulta visible únicamente en una recesión particular, sino a
través de una secuencia histórica mucho más extensa de auges,
crisis y recuperaciones parciales.
José A. Tapia Granados
Utilizando 251 trimestres de datos de Estados Unidos, Tapia compara
teorías endógenas rivales del ciclo económico y presenta evidencia
más consistente con una dirección que va de las ganancias hacia la
inversión que con una inversión autónoma determinando las ganancias
posteriores.
El resultado de Tapia es particularmente importante para Gómez Julián porque
invierte una conocida narrativa keynesiana o minskyana según la cual la
inversión autónoma «marca el ritmo». En la interpretación favorecida por
el trabajo, la rentabilidad esperada es la que proporciona al capitalista
el incentivo para acumular. La inversión reacciona así a las condiciones
de rentabilidad y los movimientos de esta última se propagan hacia el
resto de la economía.
Figuras 8–11
Las tablas reproducidas de Tapia muestran el comportamiento de las
ganancias, la inversión y los salarios alrededor de expansiones y
recesiones estadounidenses; regresiones en las que las ganancias
rezagadas ayudan a explicar la inversión; y pruebas de causalidad de
Granger en las que las ganancias contienen una cantidad considerable de
información predictiva sobre la inversión fija privada posterior.
El cuadro causal final del trabajo puede reconstruirse, por tanto, como
una secuencia:
La cadena propuesta
rentabilidad → inversión → producción y empleo →
trayectoria de crisis y recuperación
Si la rentabilidad está históricamente condicionada y la inversión
depende fuertemente de ella, los sucesivos períodos de acumulación no
comienzan desde cero. Cada uno comienza con un stock de capital, unas
condiciones de rentabilidad y una estructura productiva heredados del
período anterior.
· · ·
7. Qué puede —y qué no puede— establecer la evidencia
Este es también el punto en el que la precisión resulta especialmente
importante. El trabajo reúne varios hechos empíricos que pueden
reforzarse mutuamente, pero que no son lógicamente intercambiables.
Una lectura cuidadosa debe mantener presentes cuatro distinciones.
Cuatro precauciones econométricas
Una raíz unitaria no implica una tendencia
descendente.
Implica persistencia: los choques sobre el nivel no tienen por
qué desaparecer. Un proceso con raíz unitaria puede desplazarse
hacia arriba, hacia abajo o en ambas direcciones. El signo de
una tendencia de largo plazo de la rentabilidad debe provenir
de teoría y evidencia adicionales.
Una serie decreciente no tiene necesariamente una raíz
unitaria.
Una variable puede descender alrededor de una tendencia
determinista mientras sus desviaciones respecto de esa
tendencia permanecen estacionarias. «Decreciente» y
«no estacionaria» responden preguntas estadísticas diferentes.
La plausibilidad económica no elimina por sí sola una
regresión espuria.
La precedencia temporal y la existencia de un mecanismo
sustantivo sólido son importantes para la interpretación
causal, pero las regresiones entre series persistentes todavía
requieren un tratamiento adecuado de las raíces unitarias, la
cointegración y la especificación dinámica.
La causalidad de Granger es predictiva, no
automáticamente estructural.
Si las ganancias causan a la inversión en el sentido de Granger,
las ganancias pasadas mejoran la predicción de la inversión
condicionada al modelo. Es evidencia significativa sobre el
orden temporal, pero establecer el mecanismo causal completo
exige supuestos adicionales.
Estas precisiones no destruyen el argumento central de Gómez Julián. Permiten
formular de manera más clara su versión más sólidamente defendible.
La no estacionariedad aporta evidencia de persistencia y
dependencia histórica. Blanchard aporta evidencia de que las
grandes crisis pueden dejar al producto permanentemente por debajo de
su antigua trayectoria. La literatura sobre rentabilidad citada por
Gómez Julián aporta una afirmación distinta: que la tasa media de ganancia
presenta una tendencia decreciente de largo plazo. Kothari, Lewellen y
Warner y Tapia proporcionan otro vínculo: la rentabilidad contiene
información importante sobre la inversión posterior.
La conclusión marxiana emerge de la combinación de estas
proposiciones, no de la raíz unitaria considerada aisladamente.
La no estacionariedad aporta la memoria. La rentabilidad aporta la
dirección propuesta por la teoría. La inversión aporta el mecanismo de
transmisión.
Esta distinción es fundamental porque transforma una afirmación
estadística potencialmente excesiva en un programa de investigación
mucho más rico. En lugar de preguntar si una sola prueba puede
«demostrar a Marx», las preguntas relevantes pasan a ser: ¿qué tan
persistentes son los choques sobre el producto y la rentabilidad?
¿Las rupturas son temporales o permanentes? ¿Cómo debe medirse la propia
tasa de ganancia? ¿La rentabilidad antecede a la acumulación en
diferentes países y regímenes históricos? ¿Sobrevive la trayectoria de
largo plazo a especificaciones alternativas?
Estas son preguntas empíricas y, precisamente por ello, preguntas en
las que los enfoques marxianos, keynesianos y econométricos
convencionales pueden confrontarse realmente mediante la evidencia.
8. Por qué esto importa más allá de la econometría
Sería sencillo tratar la controversia sobre las raíces unitarias como
una discusión especializada acerca de las propiedades de un coeficiente
autorregresivo. El trabajo de Gómez Julián insiste en que hay mucho más en
juego.
Pensemos en la expresión la economía regresará a la
normalidad. Suena descriptiva, casi inocente. Estadísticamente, sin
embargo, contiene una hipótesis. Supone que existe alguna trayectoria
estable de referencia hacia la cual la economía tiende a regresar
después de una perturbación.
Si el proceso depende fuertemente de su trayectoria histórica, esa
suposición puede fallar. Una crisis bancaria puede destruir empresas,
interrumpir carreras laborales, cancelar proyectos de inversión y
modificar el stock de capital. Una recesión prolongada puede cambiar la
composición de la producción. La inversión que no se realiza hoy
representa capacidad productiva que no existirá mañana. El futuro
refleja entonces no solamente las condiciones presentes, sino también
la secuencia mediante la cual esas condiciones fueron alcanzadas.
Para los politólogos, esto tiene una consecuencia inmediata. Las crisis
económicas no siempre pueden entenderse como desviaciones temporales
después de las cuales la política continúa sobre una base material
inalterada. Si el producto, el empleo, la inversión y la rentabilidad
conservan cicatrices históricas, las crisis pueden modificar el terreno
mismo sobre el cual se desarrollan posteriormente los conflictos
distributivos y las decisiones de política pública.
Para los economistas, el mensaje es igualmente importante. Elegir entre
una representación estacionaria y otra no estacionaria nunca constituye
únicamente una decisión cosmética de preprocesamiento. Cambia aquello
que el modelo afirma que es un choque económico. En una representación,
el choque es un desplazamiento temporal. En otra, pasa a formar parte
del estado desde el que se desarrolla todo el proceso posterior.
Y para los lectores de Marx, el trabajo ofrece un puente poco habitual
entre la economía política del siglo XIX y el razonamiento moderno de
series temporales. La teoría de Marx posee una estructura histórica:
la acumulación modifica las condiciones bajo las cuales tendrá lugar la
siguiente ronda de acumulación. El uso que Gómez Julián hace de la no
estacionariedad proporciona a esa intuición histórica un análogo
estadístico. La economía no necesita girar eternamente alrededor de un
centro inalterado, porque el propio proceso puede transformar el punto
desde el cual comienza el siguiente movimiento.
9. El argumento en una sola mirada
Despojado de sus aristas polémicas, el argumento del trabajo puede
resumirse en cinco pasos.
Las series macroeconómicas pueden ser altamente persistentes.
Tratar cada recesión como una desviación temporal respecto de una
tendencia invariable constituye, por tanto, una hipótesis empírica
y no una ley estadística.
Algunos grandes choques dejan pérdidas permanentes de producto.
La economía posterior a la crisis puede volver a crecer sin
recuperar el nivel que habría alcanzado en ausencia de aquella.
La rentabilidad es fundamental para la inversión capitalista.
La evidencia examinada en el trabajo indica que las ganancias
poseen un poder predictivo considerable sobre la inversión
posterior.
La tasa media de ganancia exhibe una tendencia histórica.
Los estudios marxianos citados por Gómez Julián interpretan los datos de
rentabilidad de largo plazo como expresión de un movimiento secular
descendente interrumpido por recuperaciones cíclicas y
contratendencias.
La economía tiene, por tanto, memoria.
Si la rentabilidad condiciona la acumulación y las crisis modifican
la trayectoria posterior, el desarrollo capitalista debe modelarse
como un proceso histórico en el cual los estados pasados
contribuyen a producir los estados futuros.
Esta última proposición constituye quizá la parte intelectualmente más
interesante del ensayo de Gómez Julián. La importancia de la no estacionariedad
no reside en que una prueba estadística pueda resolver una controversia
de dos siglos en economía política. Reside en que el lenguaje
estadístico de choques permanentes, tendencias estocásticas y
dependencia de la trayectoria resulta difícilmente conciliable con una
imagen simplista de la historia económica como ruido temporal alrededor
de un equilibrio que se restaura eternamente a sí mismo.
La tendencia decreciente de la tasa de ganancia de Marx y la literatura
sobre raíces unitarias no constituyen la misma teoría, y una no
demuestra mecánicamente la otra. Pero ambas se encuentran alrededor de
un desafío común:
¿qué ocurre si el sistema económico lleva consigo su propia
historia?
Una vez admitida esa posibilidad, una crisis deja de ser simplemente
algo que le sucede a una economía que permanece esencialmente
igual. Se convierte en uno de los acontecimientos mediante los cuales
la propia economía se construye históricamente.
· · ·
Conclusión: tomarse la historia en serio
El trabajo comienza con una distinción econométrica, pero termina con
una afirmación acerca de la naturaleza de la economía política. La
estacionariedad describe un mundo capaz, bajo determinadas condiciones,
de olvidar. El comportamiento de raíz unitaria describe un mundo en el
que las perturbaciones pueden sobrevivir dentro del futuro.
Gómez Julián argumenta que esta segunda imagen resulta más compatible con el
carácter histórico del desarrollo capitalista y con el análisis
marxiano de la acumulación. La evidencia sobre pérdidas permanentes de
producto cuestiona las suposiciones sencillas de restauración
automática; la evidencia sobre ganancias e inversión proporciona a la
rentabilidad un mecanismo mediante el cual puede influir sobre la
economía real; y las estimaciones de largo plazo de la tasa de ganancia
citadas aportan el componente direccional requerido por el argumento
marxiano.
La conclusión técnicamente cuidadosa es, por tanto, más fuerte cuando
se formula con precisión. Las raíces unitarias no demuestran por sí
mismas la tendencia decreciente de la tasa de ganancia. Lo que
cuestionan es la presunción de que las perturbaciones económicas deben
desaparecer sin modificar la trayectoria de largo plazo. Cuando esa
persistencia se combina con evidencia acerca del movimiento histórico
de la rentabilidad y su relación con la acumulación, la tesis central
del trabajo aparece con claridad.
La pregunta más profunda no es si una economía termina creciendo de
nuevo. Es si, después de que la historia ha ocurrido, todavía existe la
antigua trayectoria a la cual regresar.
Principales trabajos examinados en el artículo
Campbell, J. Y. & Mankiw, N. G. (1987).
Are Output Fluctuations Transitory?
Blanchard, O. (2009).
Sustaining a Global Recovery.
Cushman, D. O. (2013).
Paul Krugman Denies Having Concurred With an Administration Forecast: A Note.
Kothari, S., Lewellen, J. & Warner, J. (2017).
The Behavior of Aggregate Corporate Investment.
Roberts, M. (2020).
A World Rate of Profit: A New Approach y
More on a World Rate of Profit.
Tapia Granados, J. A. (2013).
Does Investment Call the Tune? Empirical Evidence and Endogenous Theories of the Business Cycle.
Probabilidad · Teoría estadística · Aprendizaje no supervisado
De los estimadores de Bayes a las mezclas gaussianas
Una lectura guiada del estudio de José Mauricio Gómez Julián de 2020 sobre
teoría bayesiana de la decisión, análisis de conglomerados, estimación de densidades,
el algoritmo EM y agrupamiento basado en modelos en R.
Investigación realizada en 2020José Mauricio Gómez JuliánLectura aprox. de 15 minutos
La estadística suele volverse difícil no porque una idea aislada sea
imposible de entender, sino porque de pronto hay que mantener varias ideas
conectadas al mismo tiempo. Una distribución de probabilidad conduce a un
estimador; un estimador conduce a una función de pérdida; una función de pérdida
conduce a un problema de optimización; un problema de optimización conduce a un
algoritmo; y el algoritmo termina produciendo algo que en la pantalla parece
engañosamente sencillo: un puñado de conglomerados. El estudio de Gómez
Julián de 2020, Sobre los estimadores de Bayes, el análisis de conglomerados y
las mezclas gaussianas, es, en esencia, un intento por reconstruir toda
esa cadena de razonamiento antes de pedirle a R que haga el cálculo.
Su destino es el análisis de conglomerados basado en modelos mediante
mezclas gaussianas finitas. Pero el artículo toma deliberadamente el
camino largo. Antes de llegar a las mezclas gaussianas y a la rutina
Mclust(), recorre la probabilidad posterior,
los estimadores bayesianos, las funciones de pérdida, el error cuadrático medio,
los criterios de información, la minería de datos, el aprendizaje automático,
el aprendizaje supervisado y no supervisado, la estimación de densidades,
k-means, el algoritmo de esperanza-maximización, las distribuciones
categórica y de Dirichlet, la optimización, los parámetros y los hiperparámetros.
El objetivo no es simplemente enumerar definiciones, sino mostrar por qué todos
estos conceptos se encuentran dentro de una misma maquinaria estadística.
Nota de lectura · qué hará este artículo
El estudio original de 2020 es mucho más amplio que un tutorial convencional
de software. Por ello, esta lectura guiada se concentra en su arquitectura
estadística principal: cómo encajan entre sí el razonamiento bayesiano,
el análisis de conglomerados, los modelos de mezclas
gaussianas, el algoritmo EM y la
selección de modelos basada en BIC, y qué ocurre cuando este
marco se aplica en R.
01 · Contexto
Por qué se escribió este estudio de 2020
La motivación inmediata es la investigación educativa. Gómez Julián parte
de un estudio doctoral de Villegas Barahona centrado en el rendimiento
académico, las dimensiones latentes, las variables estudiantiles observadas
directamente, la descomposición matricial CUR y la construcción de un modelo
estadístico capaz de apoyar la toma de decisiones académicas y administrativas.
Ese proyecto anterior aporta el problema práctico; el estudio de 2020 pregunta
qué teoría estadística debe comprenderse para seguir la maquinaria que se utiliza.
Esto importa porque un paquete estadístico puede hacer que un procedimiento
difícil parezca trivial. Un investigador puede escribir un comando, obtener
una clasificación, observar un gráfico y seguir adelante. Sin embargo, el
comando presupone silenciosamente respuestas a preguntas difíciles. ¿Qué se
está estimando? ¿Qué significa que las observaciones pertenezcan a grupos
distintos? ¿Qué ocurre cuando esas pertenencias no se observan? ¿Cómo deben
elegirse el número y la geometría de los grupos? ¿Qué cantidad maximiza el
algoritmo? ¿Y cuánta incertidumbre queda después de asignar un punto a un
conglomerado?
No son meras preguntas de programación. Son preguntas sobre
probabilidad, inferencia, geometría y toma de decisiones.
La estrategia distintiva del artículo es, por tanto, fundacional: en lugar
de tratar los modelos de mezclas gaussianas como una caja negra, reconstruye
la escalera conceptual que conduce hasta ellos.
Un conglomerado en la pantalla de una computadora es el resultado visible
final de un argumento mucho más largo sobre probabilidad, estructura oculta,
estimación y optimización.
Resumen conceptual del marco de Gómez Julián de 2020
Hay otra razón por la cual este enfoque es útil fuera de la estadística.
Politólogos, economistas, sociólogos e investigadores de políticas públicas
trabajan con frecuencia con poblaciones heterogéneas. Países, hogares,
empresas, votantes o estudiantes pueden aparecer en un mismo conjunto de datos
y, sin embargo, pertenecer en realidad a varias subpoblaciones estadísticamente
distintas. Si esas subpoblaciones no vienen etiquetadas directamente, la tarea
analítica ya no consiste simplemente en estimar un promedio, sino en inferir
la estructura oculta que pudo haber generado las observaciones.
Es ahí donde finalmente entran el análisis de conglomerados
y los modelos de mezclas gaussianas. Pero Gómez Julián comienza
una capa más abajo: con Bayes y la lógica de actualizar el conocimiento cuando
llega nueva evidencia.
· · ·
02 · Fundamentos bayesianos
Bayes como regla para aprender de la evidencia
En su forma más simple, el teorema de Bayes nos dice cómo debe cambiar una
probabilidad cuando adquirimos información relevante. Supongamos que tenemos
una hipótesis \(H\) y observamos unos datos \(D\). La actualización bayesiana
conecta cuatro cantidades:
\( P(H\mid D)=\dfrac{P(D\mid H)\,P(H)}{P(D)} \)
posterior = verosimilitud × previa / probabilidad marginal de los datos
La previa, \(P(H)\), representa el estado de
información antes de incorporar la nueva evidencia. La
verosimilitud, \(P(D\mid H)\), nos indica qué
tan compatible es la evidencia observada con la hipótesis. El denominador
\(P(D)\) normaliza el cálculo. El resultado, \(P(H\mid D)\), es la
posterior: la probabilidad condicionada a haber
observado la nueva evidencia.
Para lectores provenientes de la economía hay una analogía útil. Imaginemos
que partimos de un conjunto de creencias acerca de la situación probable de
una economía y luego recibimos nueva información sobre empleo, inflación o
producción. La actualización bayesiana no implica que la información anterior
desaparezca. Más bien, la información previa y la nueva evidencia se combinan
mediante una regla probabilística precisa. La posterior pasa entonces a ser
el punto de partida informativo para la decisión siguiente.
La intuición clave
El teorema de Bayes todavía no es un algoritmo de agrupamiento. Su importancia
aquí es más fundamental: los modelos de mezclas gaussianas plantean
repetidamente preguntas de probabilidad condicional. Dado un punto
observado, ¿qué tan probable es que provenga del componente 1, del componente
2, del componente 3, y así sucesivamente? Una vez que la pertenencia a los
grupos está oculta en lugar de observarse directamente, las probabilidades
posteriores se convierten en un lenguaje natural para razonar sobre esa
incertidumbre.
Este es uno de los puentes conceptuales que da coherencia al artículo. Lo que
comienza como una discusión abstracta sobre probabilidad condicional reaparecerá
después de forma muy concreta: cada observación puede tener una
probabilidad de pertenencia a cada componente gaussiano posible. Esto
ya constituye una diferencia importante entre un modelo de mezcla gaussiana y
la conocida asignación dura producida por el k-means ordinario.
03 · Toma de decisiones estadísticas
De la probabilidad posterior a un estimador de Bayes
Actualizar probabilidades es solo una parte de la historia. En algún momento,
el analista debe hacer algo con la distribución posterior.
Debe estimarse un parámetro, producirse una predicción, seleccionarse un modelo
o asignarse una observación —quizá provisionalmente— a un grupo.
Por eso el estudio de Gómez Julián de 2020 pasa del teorema de Bayes a la
teoría de la decisión. Una vez que existen varias estimaciones
o acciones posibles, el problema estadístico puede expresarse como una cuestión
de consecuencias: si la cantidad desconocida es realmente \(\theta\), ¿cuál es
el costo de reportar cierta estimación \(\hat{\theta}\)?
Ese costo se representa mediante una función de pérdida.
La forma exacta de la función depende de qué tipos de errores sean relevantes
en el problema estudiado. Un caso particularmente importante, y el que destaca
el artículo, es la pérdida por error cuadrático:
\( L(\theta,\hat{\theta})=(\hat{\theta}-\theta)^2 \)
una mayor distancia entre la estimación y el parámetro desconocido produce
una pérdida desproporcionadamente mayor
Elevar el error al cuadrado tiene dos consecuencias inmediatas. Primero, las
desviaciones positivas y negativas dejan de cancelarse entre sí. Segundo, los
errores grandes reciben una penalización mayor que los pequeños. Por ello, la
pérdida esperada asociada está estrechamente conectada con el conocido
error cuadrático medio.
\( \mathrm{MSE}(\hat{\theta}) = E_{\theta}\!\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right] \)
error cuadrático medio como medida esperada del error de estimación
La teoría bayesiana de la decisión añade un ingrediente decisivo: en lugar de
evaluar la pérdida tratando al parámetro como un objeto fijo desconocido fuera
del cálculo probabilístico, se utiliza la distribución posterior para promediar
las posibles consecuencias de una decisión. La cantidad relevante pasa a ser
la pérdida posterior esperada.
\( \rho(a\mid x)=\int_{\Theta} L(\theta,a)\,p(\theta\mid x)\,d\theta \)
pérdida posterior esperada: consecuencias promediadas sobre la incertidumbre
actual acerca del parámetro
Una regla de decisión bayesiana selecciona la acción que minimiza esta cantidad.
Bajo pérdida por error cuadrático ocurre algo especialmente elegante: la
estimación óptima es la media posterior.
\( \hat{\theta}(x)=E(\theta\mid x)=\int_{\Theta}\theta\,p(\theta\mid x)\,d\theta \)estimador de Bayes bajo pérdida cuadrática
La intuición es sencilla. La distribución posterior describe qué valores de
\(\theta\) siguen siendo plausibles después de observar los datos. Si lo que
queremos minimizar es la distancia al cuadrado, entonces la media posterior
es el punto que minimiza la distancia cuadrática promedio a todos esos valores
posibles.
Una distinción útil
La actualización bayesiana nos dice cómo cambia la incertidumbre
después de observar evidencia. La teoría bayesiana de la decisión
nos dice cómo convertir esa incertidumbre actualizada en una acción. La primera
produce una distribución posterior; la segunda combina esa posterior con una
función de pérdida.
Esta distinción será importante más adelante. Un modelo de mezcla gaussiana no
se limita a calcular probabilidades. Utiliza probabilidades como parte de un
problema iterativo de estimación en el que deben inferirse conjuntamente las
pertenencias desconocidas a los componentes y los parámetros desconocidos de
esos componentes.
El estudio también discute la idea estadística más amplia de
riesgo de Bayes: la pérdida esperada asociada con una regla de
decisión cuando la incertidumbre acerca del parámetro se representa ella misma
probabilísticamente. Dentro del marco de teoría de la decisión adoptado en el
artículo, un estimador de Bayes es el estimador elegido porque minimiza la
pérdida esperada pertinente.
La probabilidad describe la incertidumbre; una función de pérdida le da consecuencias a esa incertidumbre.
El puente entre inferencia y teoría de la decisión
· · ·
04 · Aprendizaje no supervisado
Por qué el agrupamiento es distinto de la clasificación
El artículo cambia entonces de escala. Pasa de la estimación de un parámetro
desconocido a una pregunta más amplia de aprendizaje automático:
¿cómo puede descubrirse estructura en un conjunto de datos cuando las
observaciones no vienen acompañadas de etiquetas de clase conocidas?
Este es el escenario definitorio del aprendizaje no supervisado.
En el aprendizaje supervisado, los datos de entrenamiento contienen un resultado
o una etiqueta que el algoritmo debe reproducir o predecir. Por ejemplo, un
modelo puede aprender si un solicitante de crédito incurrió en impago, por qué
partido votó un encuestado o qué valor numérico tomó una variable dependiente.
En el aprendizaje no supervisado no existe tal clave de respuestas. El algoritmo
recibe observaciones y sus características medidas, pero no una declaración
previa de que la observación 17 pertenece al tipo A y la observación 18 al tipo B.
La propia estructura debe inferirse a partir de patrones presentes en los datos.
Clasificación frente a agrupamiento
En la clasificación, las clases se conocen durante el entrenamiento
y el modelo aprende a asignarles nuevas observaciones. En el
agrupamiento, los grupos no se proporcionan de antemano. El método
intenta descubrir una agrupación útil a partir de similitudes, diferencias y
estructura distribucional dentro de los datos observados.
Gómez Julián sitúa el análisis de conglomerados en el centro de
este problema de aprendizaje no supervisado. En su forma más general, agrupar
significa particionar observaciones según características compartidas, de manera
que las observaciones dentro de un conglomerado sean relativamente similares y
las pertenecientes a conglomerados distintos sean relativamente disímiles.
La formulación parece simple, pero oculta una de las dificultades más profundas
del agrupamiento: no siempre existe una única manera obvia de dividir un
conjunto de datos. La misma nube de puntos puede describirse plausiblemente
como dos grupos amplios, varios subgrupos más estrechos o una jerarquía en la
que grupos mayores contienen otros menores.
El estudio utiliza esta ambigüedad para distinguir dos grandes familias. El
agrupamiento particional divide las observaciones en grupos no
superpuestos a un nivel seleccionado. El agrupamiento jerárquico,
en cambio, organiza grupos dentro de grupos y produce una estructura anidada que
con frecuencia puede representarse como un árbol.
Esto es más que una distinción técnica. Nos recuerda que un conglomerado no es
simplemente un objeto que espera dentro de los datos a ser fotografiado. Un
procedimiento de agrupamiento incorpora una definición de qué significa similitud,
cómo se mide la distancia, qué geometría se permite y a qué escala las diferencias
se consideran importantes.
Preguntar cuántos grupos hay en un conjunto de datos ya implica preguntar qué cuenta como grupo.
Por qué el agrupamiento es fundamentalmente un problema de modelización
Esto es particularmente importante para economistas y politólogos. Supongamos que
representamos países mediante desempleo, alfabetización, pobreza y gasto público
en educación. Un algoritmo de agrupamiento puede detectar configuraciones
estadísticamente distintas de esas variables. Pero los grupos resultantes no deben
tratarse automáticamente como “tipos” políticos o económicos sustantivos. La
agrupación estadística es evidencia acerca de una estructura; su interpretación
todavía requiere teoría y conocimiento del fenómeno estudiado.
Antes de agrupar, el artículo también subraya la importancia del
preprocesamiento de los datos. Los valores atípicos, las distintas
escalas de medición, las variables irrelevantes y los valores faltantes pueden
alterar la geometría aparente del conjunto de datos. La normalización puede ser
importante cuando la distancia es central para el algoritmo, mientras que la
reducción de variables puede resultar útil cuando dimensiones irrelevantes oscurecen,
en vez de aclarar, la estructura.
· · ·
05 · Un primer modelo de agrupamiento
Lo que k-means realmente supone
Para entender por qué las mezclas gaussianas son útiles, Gómez Julián introduce
primero uno de los algoritmos de agrupamiento más conocidos: k-means.
La idea básica es geométrica. Se elige un número de grupos, \(K\). A cada grupo
se le asocia un centro, o centroide. Después se asigna
cada observación al grupo cuyo centroide está más cerca. Los centroides se actualizan
a partir de las observaciones que les fueron asignadas y el proceso se repite hasta
que la configuración se estabiliza.
\( \displaystyle \min_{C_1,\ldots,C_K}\sum_{k=1}^{K}\sum_{x_i\in C_k}\lVert x_i-\mu_k\rVert^2 \)
el objetivo familiar de k-means: minimizar la distancia cuadrática dentro de
cada conglomerado entre cada observación y su centroide
Incluso quienes nunca han implementado el algoritmo pueden visualizar su lógica.
Imaginemos colocar \(K\) alfileres sobre un mapa. Cada observación se envía al
alfiler más cercano. Después los alfileres se desplazan hacia los centros de las
observaciones que les fueron asignadas y la asignación se repite. Finalmente, los
alfileres y las pertenencias dejan de cambiar de manera sustancial.
Este procedimiento es potente y computacionalmente conveniente, pero su simplicidad
impone una estructura geométrica. La lógica de distancia al centroide funciona de
manera más natural cuando los conglomerados son compactos y aproximadamente esféricos
—o circulares cuando se visualizan en dos dimensiones—.
Los datos reales no tienen por qué cooperar. Un conglomerado puede ser largo y
estrecho, inclinarse diagonalmente en el espacio de características, estar muy
concentrado en una dirección y ampliamente disperso en otra. Dos grupos también
pueden superponerse. Cuando aparecen estas posibilidades, la distancia a un único
centro puede dejar de describir adecuadamente la estructura.
Hay otra limitación que se vuelve central en el artículo. El k-means
ordinario realiza lo que se conoce como una asignación dura. Una
observación se coloca en el conglomerado 1, 2 o 3. El algoritmo no dice de forma
natural: “hay una probabilidad del 72 % de que esta observación pertenezca al
conglomerado 1 y del 28 % de que pertenezca al conglomerado 2”.
Dos limitaciones que conviene recordar
La transición de k-means a las mezclas gaussianas está motivada por dos
ideas especialmente importantes: la geometría de los conglomerados
y la incertidumbre de pertenencia. Las mezclas gaussianas pueden
modelar conglomerados con estructura de covarianzas y asignar pertenencias
probabilísticas, en lugar de puramente deterministas.
Esto prepara el giro conceptual central del estudio. En vez de pensar un
conglomerado únicamente como una colección de puntos alrededor de un centroide,
podemos pensarlo como una distribución de probabilidad.
· · ·
06 · Estructura latente
La idea central: una población puede ser una mezcla
Supongamos que observamos la distribución de alguna variable en una población
completa. A primera vista vemos un único conjunto de datos. Pero ¿qué ocurre si
esa población está compuesta en realidad por varias subpoblaciones generadas por
procesos estadísticos distintos?
Esta es la intuición fundamental detrás de un modelo de mezcla.
La distribución de probabilidad global se representa como una combinación ponderada
de varias distribuciones componentes.
\( \displaystyle f(x_i;\Psi)=\sum_{k=1}^{G}\pi_k f_k(x_i;\theta_k) \)
modelo de mezcla finita · cada componente tiene sus propios parámetros y
contribuye de acuerdo con su peso de mezcla
Aquí \(G\) es el número de componentes. \(f_k(x_i;\theta_k)\) es la densidad del
componente \(k\), determinada por sus propios parámetros \(\theta_k\). La cantidad
\(\pi_k\) es el peso de mezcla del componente y satisface
\(\pi_k>0\) y \(\sum_{k=1}^{G}\pi_k=1\).
Los pesos son importantes. Si parece que el 70 % de la población fue generado
por un componente y el 30 % por otro, ambas densidades componentes no deberían
contribuir por igual a la densidad de la población total. Los pesos de mezcla
codifican su prevalencia relativa.
Pero la característica más profunda del modelo es algo que no observamos
directamente: la identidad del componente de cada observación.
El conjunto de datos contiene \(x_i\), pero normalmente no contiene una columna
adicional proporcionada por la naturaleza que diga: “este punto fue generado por
el componente gaussiano 3”.
La pertenencia al componente es, por tanto, una variable latente.
Es una estructura oculta que se infiere a partir de los datos observados.
Cantidades observadas y latentes
Las observaciones \(x_1,\ldots,x_n\) son visibles. Las etiquetas de los componentes
que las generaron no lo son. Por ello, un modelo de mezcla finita conecta
datos observables con pertenencia no observable a grupos,
al tiempo que estima los parámetros y el peso relativo de cada componente.
Por eso el artículo considera los modelos de mezcla como naturalmente conectados
con la modelización jerárquica y de variables latentes. Existe un nivel en el que
una observación pertenece a algún componente no observado y otro nivel en el que
el valor observado se genera según la distribución de probabilidad asociada a ese
componente.
Si las distribuciones componentes son gaussianas, el modelo se convierte en un
modelo de mezcla gaussiana, o GMM:
\( \displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{G}\pi_k\,\mathcal{N}(x\mid\mu_k,\Sigma_k) \)
modelo de mezcla gaussiana · cada grupo latente se representa mediante una
densidad normal con su propia media y estructura de covarianzas
En una dimensión, cada componente tiene una media y una varianza. En varias
dimensiones, la media se convierte en un vector \(\mu_k\), mientras que la
dispersión y la dependencia entre variables se representan mediante la matriz
de covarianzas \(\Sigma_k\).
La matriz de covarianzas es precisamente lo que da a los modelos de mezclas
gaussianas su flexibilidad geométrica. Permite que un conglomerado sea estrecho,
otro amplio, otro alargado y otro orientado en una dirección diagonal dentro del
espacio multivariado.
El artículo presenta así las mezclas gaussianas como una generalización
probabilística de la intuición más rígida, basada en centroides, asociada con
k-means. En lugar de preguntar únicamente qué centro está más cerca, el
modelo plantea una pregunta más rica: dadas las distribuciones estimadas,
¿qué tan probable es que esta observación provenga de cada componente?
\( \displaystyle P(Z_i=k\mid x_i)=\frac{\pi_k\,\mathcal{N}(x_i\mid\mu_k,\Sigma_k)}{\sum_{j=1}^{G}\pi_j\,\mathcal{N}(x_i\mid\mu_j,\Sigma_j)} \)
probabilidad posterior de que la observación i pertenezca al componente k
Ahora la discusión anterior sobre Bayes se vuelve visiblemente relevante. El
modelo parte de pesos y densidades de los componentes y, condicionado a un punto
observado, calcula probabilidades actualizadas de pertenencia a cada componente.
Una observación cercana al centro de un componente y lejos de todos los demás
puede recibir una probabilidad de asignación próxima a uno. Una observación situada
en una región de superposición puede recibir una probabilidad sustancial bajo dos
o más componentes. Esto es clasificación blanda: la incertidumbre
sobre la pertenencia se conserva en lugar de descartarse de inmediato.
Una mezcla gaussiana no se limita a dividir los datos. Propone una explicación
probabilística de cómo varias subpoblaciones ocultas pudieron haber generado la
población observada.
La idea central de modelización del estudio de 2020
Pero ahora hemos llegado a una aparente circularidad. Para estimar la media, la
covarianza y el peso de cada componente, querríamos saber qué observaciones pertenecen
a cada componente. Sin embargo, determinar qué observaciones pertenecen a cada
componente es precisamente lo que exige conocer esas medias, covarianzas y pesos.
Resolver ese problema circular es la tarea de uno de los algoritmos más importantes
de la estadística con variables latentes: esperanza-maximización.
07 · Información oculta
EM: aprender cuando se desconoce la pertenencia a los grupos
La dificultad a la que se enfrenta un modelo de mezcla gaussiana puede expresarse
ahora con precisión. Observamos los puntos de datos, pero no observamos el componente
del que fue generado cada punto. Si esas pertenencias fueran conocidas, estimar los
parámetros de cada componente gaussiano sería relativamente sencillo. Pero las
propias pertenencias dependen de parámetros que todavía son desconocidos.
El estudio de Gómez Julián de 2020 aborda este problema mediante el clásico
algoritmo de esperanza-maximización, o EM, desarrollado
por Dempster, Laird y Rubin. El contexto más amplio es la estimación a partir de
datos incompletos: existe información que haría más sencillo el
problema de estimación, pero dicha información no se observa directamente.
En la modelización de mezclas, la pieza faltante es especialmente intuitiva.
Imaginemos que cada fila del conjunto de datos lleva secretamente una variable
adicional que indica qué componente gaussiano la generó. Si esa variable oculta
fuera visible, tendríamos lo que puede concebirse como los datos completos.
En realidad, solo se observan las variables medidas.
La interpretación en términos de datos faltantes
En un modelo de mezcla gaussiana, el punto de datos se observa, pero su componente
generador es latente. EM trata esta información oculta como la parte faltante de un
problema estadístico que, de otro modo, sería más conveniente.
La característica ingeniosa de EM es que no exige que esta información faltante se
vuelva de algún modo observable. En su lugar, alterna entre dos cálculos. Cada uno
hace posible el otro.
Paso E: estimar las pertenencias ocultas
Se comienza con unos valores actuales para los parámetros de los componentes: las
medias, las matrices de covarianzas y los pesos de mezcla. Dados esos valores, se
calcula qué tan probable es que cada observación pertenezca a cada componente.
Estas probabilidades suelen denominarse responsabilidades.
El componente \(k\) asume responsabilidad por la observación \(i\) en proporción a
cuán plausible es esa observación bajo la densidad gaussiana del componente y a cuán
prevalente es dicho componente en la mezcla.
\( \displaystyle \gamma_{ik}=P(Z_i=k\mid x_i,\Psi)=\frac{\pi_k\,\mathcal{N}(x_i\mid\mu_k,\Sigma_k)}{\sum_{j=1}^{G}\pi_j\,\mathcal{N}(x_i\mid\mu_j,\Sigma_j)} \)
intuición del paso E · estimar la probabilidad de que cada observación pertenezca
a cada componente gaussiano
Obsérvese lo que ha ocurrido. La afirmación dura y desconocida “la observación \(i\)
pertenece al conglomerado \(k\)” ha sido sustituida por un conjunto de probabilidades.
Una observación puede estar asociada abrumadoramente con un componente o puede situarse
en una región de superposición y repartir su probabilidad entre varios componentes.
Paso M: actualizar el modelo
Una vez calculadas esas pertenencias esperadas, el algoritmo da la vuelta al problema.
Ahora trata las pertenencias probabilísticas producidas por el paso E como información
para reestimar los parámetros.
Las medias, las matrices de covarianzas y los pesos de mezcla se actualizan de modo
que aumente la verosimilitud de los datos observados bajo la mezcla recién estimada.
Un ciclo de EM
Paso E: utilizando los parámetros actuales del modelo, estimar las pertenencias ocultas a los componentes.
Paso M: utilizando esas pertenencias estimadas, reestimar los parámetros del modelo maximizando el criterio de verosimilitud pertinente.
Después el algoritmo vuelve al paso E. Los nuevos parámetros implican nuevas
probabilidades de pertenencia; esas nuevas probabilidades implican nuevas estimaciones
de los parámetros; y el proceso continúa iterativamente.
\( \Psi^{(0)}\rightarrow\text{paso E}\rightarrow\text{paso M}\rightarrow\Psi^{(1)}\rightarrow\text{paso E}\rightarrow\text{paso M}\rightarrow\cdots \)
esperanza y maximización se alternan hasta que la solución ajustada se estabiliza
El proceso se detiene cuando las estimaciones de los parámetros —o, equivalentemente,
las mejoras en la verosimilitud— cambian tan poco que se considera que el algoritmo
ha alcanzado la convergencia.
Esto convierte a EM en una respuesta particularmente elegante a la aparente
circularidad encontrada al final de la sección anterior. Necesitábamos la pertenencia
a los conglomerados para estimar las distribuciones, pero necesitábamos las distribuciones
para estimar la pertenencia a los conglomerados. EM resuelve el problema alternando
entre ambas tareas condicionales.
Estime lo que está oculto utilizando el modelo actual; después mejore el modelo utilizando lo que acaba de estimar.
La lógica iterativa de esperanza-maximización
Hay una salvedad importante. EM es un algoritmo de optimización, no una garantía
mágica de que cualquier punto de partida conduzca a la mejor solución global. Las
verosimilitudes de los modelos de mezcla pueden contener múltiples óptimos locales.
Por ello, la inicialización y la especificación del modelo pueden importar. Lo que
EM garantiza a nivel operativo es un procedimiento iterativo para mejorar la
verosimilitud hasta alcanzar una solución estacionaria.
· · ·
08 · Geometría estadística
Por qué las mezclas gaussianas pueden ver elipses
El siguiente paso del argumento de Gómez Julián es geométrico. En una dimensión,
una distribución gaussiana se describe mediante una media y una varianza. Sin embargo,
al pasar a dos o más dimensiones, la varianza ya no es suficiente. También deben
representarse las relaciones entre las variables.
Este es el papel de la matriz de covarianzas, \(\Sigma_k\). Para
el componente \(k\), el vector de medias \(\mu_k\) determina su centro, mientras
que \(\Sigma_k\) determina cómo se dispersa la masa de probabilidad por el espacio
multivariado.
\( X\mid Z=k\sim\mathcal{N}(\mu_k,\Sigma_k) \)cada componente gaussiano posee su propio centro y su propia geometría de covarianzas
En dos dimensiones, los contornos de igual densidad gaussiana forman
elipses. Esto ofrece una forma intuitiva de leer la covarianza.
Una elipse casi circular indica una dispersión similar en distintas direcciones.
Una elipse alargada indica una variación mucho mayor en una dirección que en otra.
Una elipse inclinada señala covarianza entre las variables.
Es precisamente aquí donde el agrupamiento mediante mezclas gaussianas se vuelve
más flexible que la imagen geométrica elemental proporcionada por k-means.
Un centroide solo nos dice dónde está centrado un conglomerado. Una matriz de
covarianzas también nos informa de su volumen, forma y orientación.
Piense geométricamente
Dos conglomerados pueden tener centros igualmente separados y aun así ser
estadísticamente muy distintos. Uno puede ser compacto y casi circular; otro,
amplio y fuertemente alargado. Los modelos de mezclas gaussianas pueden representar
esta diferencia porque la matriz de covarianzas forma parte del modelo.
El marco de mclust estudiado en el artículo
explota este hecho de forma sistemática. En lugar de ajustar una sola estructura de
covarianzas posible, considera una familia de modelos gaussianos obtenidos imponiendo
distintas restricciones sobre el volumen, la forma
y la orientación de los elipsoides componentes.
Gómez Julián discute los 14 modelos gaussianos multivariados disponibles en la versión
de mclust estudiada en la investigación de 2020.
Sus nombres compactos —como EEE,
VEV, VVI
o EEV— codifican restricciones sobre esas
propiedades geométricas.
Ejemplo
Idea geométrica
EEE
Volumen igual, forma igual y orientación igual entre componentes
VEV
Volumen variable, forma igual y orientación variable
VVI
Estructura diagonal de covarianzas con volumen y forma variables
EEV
Volumen y forma iguales, con orientación que puede variar
Estos códigos no son jerga decorativa de software. Describen hipótesis estadísticas
rivales sobre la geometría de los grupos ocultos. ¿Deben todos los conglomerados
tener la misma dispersión? ¿Puede uno ser mayor que otro? ¿Deben sus elipses apuntar
en la misma dirección? ¿Es suficiente una matriz diagonal de covarianzas o los datos
requieren elipsoides rotados?
Visto así, el agrupamiento basado en modelos hace más que decidir dónde dibujar
fronteras. Está comparando descripciones generativas alternativas de los datos.
En el agrupamiento basado en modelos, la forma de un conglomerado no es un detalle secundario. Forma parte de la hipótesis que se está estimando.
La covarianza como geometría estadística
· · ·
09 · Selección de modelos
BIC y el problema de elegir un modelo
Las mezclas gaussianas crean un nuevo problema precisamente porque son flexibles.
Podemos ajustar distintos números de componentes y, para cada número, considerar
diferentes estructuras de covarianzas. ¿Qué modelo debe preferirse?
La verosimilitud maximizada por sí sola no basta. Añadir parámetros suele dar al
modelo más libertad para acomodar los datos observados, de modo que el ajuste bruto
puede mejorar simplemente porque el modelo se ha vuelto más complicado. Si la
complejidad nunca se penaliza, el procedimiento empuja hacia especificaciones cada
vez más elaboradas.
Esto motiva el Criterio de Información Bayesiano (BIC), introducido
por Gideon Schwarz y discutido ampliamente en el estudio de 2020. En una notación
habitual,
\( \mathrm{BIC}=-2\log \hat{L}+k\log n \)
forma convencional de minimización · el ajuste se equilibra con una penalización
que aumenta con la complejidad del modelo
Aquí \(\hat{L}\) es la verosimilitud maximizada, \(k\) es el número de parámetros
estimados y \(n\) es el tamaño de la muestra. El primer término recompensa el ajuste;
el segundo penaliza los parámetros adicionales.
Una convención de signo equivalente suele escribirse de modo que
se prefieran valores mayores:
\( \displaystyle \log \hat{L}-\frac{k}{2}\log n \)
forma de maximización de Schwarz · la misma lógica entre ajuste y complejidad,
expresada con la orientación opuesta
Una advertencia práctica sobre los signos
A veces los lectores encuentran en los manuales “elija el BIC más pequeño” y
después ven una salida de mclust donde el
modelo preferido tiene el valor BIC más grande. Es una cuestión
de convención. El criterio puede escribirse con signos opuestos. Lo importante es
usar de manera coherente la convención adoptada por el software o la fuente.
En mclust, BIC se convierte así en el mecanismo
para comparar combinaciones de número de componentes y
parametrización de la covarianza. El software puede ajustar un
conjunto de modelos candidatos de mezclas gaussianas y compararlos, en vez de obligar
al investigador a estipular de antemano una única geometría.
Conceptualmente, se trata de una competencia entre explicaciones. Un modelo de un
componente afirma que una sola población gaussiana es suficiente. Un modelo de dos
componentes sostiene que dos subpoblaciones latentes ofrecen una mejor explicación
después de tomar en cuenta los parámetros adicionales. Un modelo de cinco componentes
formula una afirmación aún más elaborada. BIC pregunta si la ganancia en verosimilitud
es suficientemente grande para justificar esa complejidad adicional.
Qué hace BIC en este artículo
BIC actúa como puente entre la estimación y la
selección de modelos. EM estima los parámetros de una mezcla
gaussiana candidata. BIC ayuda a decidir qué estructura candidata —entre distintos
números y geometrías de componentes— es comparativamente preferible.
Esta distinción es esencial. EM no responde por sí solo todas las preguntas de
modelización. Dada una estructura de mezcla especificada, proporciona una forma de
estimar sus parámetros. La selección de modelos opera en otro nivel: compara
estructuras alternativas.
El resultado es un procedimiento por capas. Primero se definen modelos de probabilidad
candidatos. Después se estiman. Luego se comparan. Finalmente, se inspecciona la
clasificación resultante y se pregunta si la estructura estadística tiene sentido
sustantivo.
\( \text{modelos candidatos}\rightarrow\text{estimación EM}\rightarrow\text{comparación BIC}\rightarrow\text{estructura de agrupamiento seleccionada} \)
flujo de trabajo del agrupamiento basado en modelos desarrollado hacia la sección
aplicada del estudio
Ya estamos listos para el último paso de la investigación de 2020: ver qué produce
realmente esta maquinaria en R. Gómez Julián cierra el análisis sustantivo con dos
tipos de aplicación. La primera utiliza el conjunto de datos canónico Iris;
la segunda pasa a datos sociales y económicos del Banco Mundial, combinando indicadores
de gasto en educación, alfabetización, desempleo y pobreza.
10 · Ejemplos aplicados en R
De las flores Iris a los indicadores del Banco Mundial
Después de más de cien páginas de preparación teórica, el estudio de Gómez Julián
de 2020 finalmente pone en marcha la maquinaria estadística. Esta última sección
sustantiva es útil precisamente porque la discusión precedente cambia el significado
de lo que, de otro modo, parecerían unas pocas líneas de código en R. Llegados a este
punto, una llamada a Mclust() ya no es simplemente
un comando de software. Invoca mezclas gaussianas finitas, pertenencia latente,
estimación por máxima verosimilitud mediante EM, geometrías alternativas de covarianza
y comparación de modelos basada en BIC.
El artículo ofrece dos tipos de ilustración. Primero aparece el conjunto de datos
canónico Iris distribuido con R. Después, el análisis pasa a un conjunto de
datos construido a partir de indicadores del Banco Mundial, acercando
el método a un contexto mucho más próximo a la economía, la ciencia política y la
investigación de políticas públicas.
Cómo leer la salida
Cuando Mclust() reporta un modelo como
VEV, EEE
o VVI, está describiendo la estructura de
covarianzas seleccionada para los componentes gaussianos. Cuando reporta un número
de componentes, está describiendo el número de componentes de mezcla preferido por
el procedimiento de selección de modelos entre los candidatos ajustados.
El ejemplo Iris
La primera aplicación utiliza las cuatro variables cuantitativas conocidas del
conjunto de datos Iris. Gómez Julián ejecuta:
mod1 <- Mclust(iris[,1:4])
summary(mod1)
agrupamiento basado en modelos gaussianos de las cuatro variables medidas de Iris
La solución reportada es una mezcla gaussiana finita
VEV con dos componentes.
Las 150 observaciones se dividen en conglomerados de 50 y
100 observaciones, respectivamente. La log-verosimilitud reportada
es \(-215.726\), mientras que la salida da un BIC de \(-561.7285\) y un ICL de
\(-561.7289\).
Conjunto de datos
Estructura seleccionada
Agrupamiento
Iris
VEV · 2 componentes gaussianos
50 / 100 observaciones
Los gráficos que acompañan el ejemplo hacen visibles las dos capas del procedimiento.
Un panel compara valores BIC entre modelos candidatos de covarianza y distintos números
de componentes. Otro muestra la clasificación resultante a través de pares de variables
medidas. Por tanto, el gráfico no se limita a mostrar los conglomerados después del hecho:
también ofrece al lector una vista del problema de selección de modelos que los produjo.
Este ejemplo es deliberadamente sencillo. Su función es mostrar que la discusión teórica
sobre densidades de mezcla, EM, estructura de covarianzas y BIC puede condensarse
operativamente en un fragmento sorprendentemente corto de código en R.
· · ·
Un ejemplo de ciencias sociales con datos del Banco Mundial
La segunda aplicación está más directamente conectada con las preocupaciones de
economistas e investigadores de políticas públicas. Gómez Julián construye un ejemplo
con datos del Banco Mundial y cuatro variables correspondientes a 2018:
Variables utilizadas en la aplicación de 2020
Gasto público en educación como porcentaje del PIB;
desempleo como porcentaje de la fuerza laboral total;
incidencia de la pobreza según la línea nacional de pobreza; y la
tasa de alfabetización de adultos para personas de 15 años o más.
El flujo de trabajo en R importa los conjuntos de datos por separado, selecciona las
observaciones de 2018, los une por país, elimina las filas en las que la combinación
requerida contiene valores faltantes y, finalmente, aplica
Mclust() a las variables numéricas resultantes.
Cuando se consideran conjuntamente los cuatro indicadores, solo quedan
13 observaciones completas en el conjunto de datos utilizado por
el código. El modelo reportado es EEE con
nueve componentes: conglomerados gaussianos elipsoidales con igual
volumen, igual forma e igual orientación.
\( n=13,\qquad G=9,\qquad \text{modelo}=\mathrm{EEE} \)ejemplo de cuatro variables del Banco Mundial reportado en el estudio
La salida reporta una log-verosimilitud de \(-77.62892\), 54 grados de libertad,
BIC \(-293.7651\) e ICL \(-293.7727\). Los tamaños de los componentes son
extremadamente pequeños: los nueve conglomerados contienen, respectivamente,
1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2 y 1 observaciones.
Gómez Julián repite después el ejercicio de agrupamiento basado en modelos utilizando
combinaciones más pequeñas de variables. Esto resulta particularmente revelador porque
el tamaño de muestra disponible cambia de forma marcada según qué indicadores del Banco
Mundial deban observarse simultáneamente.
Variables
n
Modelo
Componentes
BIC
Gasto en educación + alfabetización
39
XXI
1
−475.3468
Gasto en educación + desempleo
71
VVI
2
−679.1997
Gasto en educación + pobreza
17
EEV
5
−193.6785
El contraste es llamativo. Para gasto público en educación y alfabetización adulta,
la solución ajustada contiene solo un componente entre 39 observaciones
completas. Para gasto en educación y desempleo, el modelo seleccionado es
VVI con dos componentes, que
contienen 49 y 22 observaciones. Para gasto en educación y pobreza, el resultado es
una especificación EEV con
cinco componentes, cuyos tamaños son 3, 3, 4, 4 y 3.
Estos ejemplos muestran algo que puede perderse fácilmente cuando se habla de forma
abstracta del “número de conglomerados”. El número de componentes no es una cifra
intrínseca unida para siempre a un conjunto de países. Depende de las variables que
se modelizan, de las observaciones disponibles, de las estructuras de covarianzas
candidatas y del criterio estadístico utilizado para comparar esos modelos.
Un límite inferencial importante
La salida reportada en esta sección es análisis de conglomerados.
Describe estructura estadística encontrada por los modelos ajustados de mezclas
gaussianas. Por sí solo, un ejercicio de este tipo no establece que el gasto en
educación cause desempleo, alfabetización o pobreza, ni estima la magnitud de un
efecto causal. Esas serían preguntas inferenciales distintas que requerirían otro
diseño de investigación.
Esta distinción es especialmente valiosa para el análisis de políticas públicas. Un
conglomerado puede revelar que algunos países ocupan regiones similares de un espacio
estadístico multivariado. Eso puede motivar una investigación sustantiva. Pero no
explica, por sí mismo, histórica o causalmente por qué esos países ocupan esa región.
El resultado de cuatro variables merece el mismo cuidado. Nueve componentes a partir
de solo trece observaciones completas es exactamente el tipo de salida que debe leerse
conjuntamente con el tamaño muestral y la complejidad del modelo, en lugar de reducirse
a la frase “nueve tipos de países”. El estudio reporta el ajuste estadístico; la
interpretación sustantiva exige regresar del modelo al objeto empírico que se estudia.
· · ·
11 · La lección más amplia
Lo que realmente enseña el estudio de 2020
Quizá la característica más importante de la investigación de Gómez Julián sea su
negativa a comenzar por el software. El artículo podría haber sido un breve tutorial
sobre cómo llamar a Mclust(), inspeccionar BIC
y graficar una clasificación. En cambio, construye un largo recorrido conceptual desde
la probabilidad y la estimación hasta la salida final del agrupamiento.
Ese recorrido importa porque sus elementos están genuinamente conectados. El
razonamiento bayesiano introduce la probabilidad condicional y la
actualización. La teoría de la decisión explica cómo las distribuciones
de probabilidad pueden conectarse con estimadores y pérdidas. El
aprendizaje no supervisado introduce el problema de descubrir estructura
sin etiquetas conocidas. El análisis de conglomerados da a ese problema
una forma estadística. Los modelos de mezcla reinterpretan una población
aparentemente homogénea como la superposición de subpoblaciones latentes. Las
mezclas gaussianas proporcionan a esas subpoblaciones una geometría
probabilística flexible. EM estima modelos cuya información de pertenencia
está oculta. Y BIC proporciona una forma de comparar especificaciones rivales.
\( \text{Bayes}\rightarrow\text{estimación}\rightarrow\text{variables latentes}\rightarrow\text{mezclas}\rightarrow\text{EM}\rightarrow\text{BIC}\rightarrow\text{agrupamiento} \)un mapa comprimido del recorrido conceptual reconstruido en el estudio de 2020
También puede leerse el artículo como un argumento a favor de comprender los métodos
estadísticos de manera estructural. Un modelo no es simplemente una ecuación. Incluye
supuestos sobre qué es observable, qué es latente, qué familia de probabilidad describe
los datos, cómo se estiman los parámetros, qué geometrías se permiten y cómo se comparan
especificaciones rivales.
Los modelos de mezclas gaussianas hacen este punto especialmente visible. La nube
observable de datos es solo la superficie. Debajo de ella hay una estructura generativa
propuesta: distribuciones componentes, pertenencias latentes, pesos de mezcla, medias
y matrices de covarianzas. El analista no observa directamente esta maquinaria. La infiere.
El conjunto de datos visible es el punto de partida. El modelo estadístico es una hipótesis sobre la estructura oculta capaz de producirlo.
Una intuición central que recorre el estudio
Por eso también es tan significativa la diferencia entre clasificación
dura y blanda. Decir que un país, una persona o una
flor pertenece al “conglomerado 2” suprime información. Una mezcla gaussiana puede,
en cambio, conservar el hecho de que una observación se encuentre cerca de la frontera
entre varios componentes plausibles. La probabilidad vuelve medible la ambigüedad.
Del mismo modo, la covarianza transforma el agrupamiento desde la simple idea de
distancia a un centro hacia una descripción más rica de la geometría estadística. Los
grupos pueden diferir no solo en ubicación, sino también en dispersión, forma y orientación.
Y BIC nos recuerda que una mayor flexibilidad tiene un costo: un modelo debe ganarse su
complejidad adicional mediante una mejora del ajuste.
Para economistas, econometristas y politólogos, quizá la lección más transferible sea,
por tanto, metodológica. Si una población puede contener regímenes estadísticos
cualitativamente distintos, forzar todas las observaciones dentro de una única distribución
homogénea puede ocultar estructura. Los modelos de mezcla ofrecen una forma formal de
preguntar si el patrón agregado puede ser generado, en cambio, por varios componentes latentes.
Pero la advertencia inversa es igualmente importante. Descubrir una partición preferida
estadísticamente no libera al investigador de la obligación de comprender el fenómeno real.
Un componente es un componente de un modelo estadístico. Que corresponda a una clase social
significativa, un régimen institucional, una configuración de desarrollo, una población
biológica o simplemente a una característica de la muestra disponible debe establecerse
mediante conocimiento sustantivo y evidencia adicional.
En una sola frase
La investigación de Gómez Julián de 2020 es un recorrido teórico guiado por las ideas
necesarias para comprender cómo los modelos gaussianos de mezclas finitas pueden
descubrir estructura latente en datos sin etiquetar, cómo EM estima esa
estructura y cómo criterios de selección de modelos como BIC ayudan a
decidir qué representación probabilística conservar.
· · ·
12 · Perspectiva final
Estadística antes que software
Hay una inversión útil en el corazón de este estudio. La computación estadística moderna
nos anima a comenzar con una función y descubrir después qué hace. El texto de Gómez
Julián de 2020 avanza en la dirección opuesta: primero reconstruye los conceptos
matemáticos y estadísticos y después se aproxima a la función.
Esa elección hace que el artículo sea inusualmente amplio. Probabilidad posterior,
estimadores de Bayes, funciones de pérdida, BIC, minería de datos, aprendizaje automático,
agrupamiento, estimación de densidades, cuantización vectorial, k-means, EM,
distribuciones categórica y de Dirichlet, optimización, parámetros, hiperparámetros y
mezclas gaussianas finitas aparecen porque el procedimiento final se encuentra en la
intersección de todas esas ideas.
Para un lector con formación técnica, el valor de este recorrido es que expone la
arquitectura oculta bajo un comando familiar de R. Para un lector proveniente de la
ciencia política, la economía u otro campo aplicado, ofrece algo igualmente útil: un
camino intuitivo hacia un método que, de otro modo, llega envuelto en álgebra matricial
y notación probabilística.
Y la lección práctica es sencilla. Cuando un algoritmo informa que los datos contienen
uno, dos o cinco grupos, la pregunta interesante no es simplemente ¿qué devolvió el
software? Es: ¿qué modelo estadístico hizo posible esa respuesta, qué supuestos
dieron forma a los grupos y qué tipo de afirmación sobre la realidad es realmente capaz
de sostener el resultado?
La buena práctica estadística comienza donde termina la salida automática: en el intento de comprender qué ha medido realmente el modelo.
Reflexión final sobre el estudio de Gómez Julián de 2020
José Mauricio Gómez Julián · 2020
Sobre los estimadores de Bayes, el análisis de conglomerados y las mezclas gaussianas:
un análisis teórico general de densityMclust en R y de teoría estadística
Econometría · Contraste de hipótesis · Análisis monetario
Cuando una regresión parece excelente — y aun así puede estar equivocada
Lo que el dinero, el PIB nominal, el oro y la economía estadounidense entre 1990 y 2011 pueden enseñarnos sobre el difícil arte de especificar un modelo econométrico.
UNA LECTURA GUIADA DE GÓMEZ JULIÁN (2020)
RAMSEY RESET · ARCH · MCO · SERIES DE TIEMPO · ESPECIFICACIÓN DEL MODELO
· · ·
Una regresión puede parecer espectacular y, sin embargo, estar formulando la pregunta equivocada. Puede explicar casi toda la variación observada de una variable, producir coeficientes altamente significativos, trazar una línea ajustada que siga los datos con una precisión extraordinaria y, pese a todo, contener una falla estructural. Esa tensión es el verdadero objeto del estudio de Gómez Julián sobre el contraste de hipótesis y la especificación óptima de un modelo de regresión. El escenario empírico es monetario: el artículo examina la cantidad de dinero en Estados Unidos entre 1990 y 2011 en relación con el PIB nominal y el precio internacional del oro. Pero la lección más profunda concierne al razonamiento econométrico mismo. ¿Cómo pasamos de un modelo que simplemente se ajusta a uno cuya especificación tenemos razones estadísticas serias para considerar confiable?
Esta distinción importa mucho más allá de la economía monetaria. Los politólogos estiman los efectos de las instituciones sobre el crecimiento, los epidemiólogos estudian relaciones entre exposiciones y resultados, los sociólogos modelan la desigualdad y los economistas estiman habitualmente relaciones entre precios, producción, inversión, empleo, dinero y variables financieras. En todos los casos, una ecuación de regresión comprime un proceso complejo en una forma matemática manejable. El peligro es evidente: una ecuación conveniente puede ocultar dinámicas que la propia ecuación no representa.
La idea metodológica central
El artículo trata los contrastes de hipótesis no como estadísticas decorativas añadidas después de estimar una regresión, sino como instrumentos para interrogar al propio modelo. Un coeficiente de determinación elevado no es el final de la investigación. Es el comienzo de una secuencia de preguntas: ¿son independientes los residuos? ¿Es estable su varianza? ¿Son estables los parámetros? ¿Es adecuada la forma funcional supuesta? ¿Son estacionarias las series de tiempo? ¿Podría ser espurio un ajuste aparentemente excelente?
Esta lectura guiada
La hipótesis económica detrás de la regresión
¿Por qué Estados Unidos y por qué 1990–2011?
El engañosamente impresionante primer resultado por MCO
Por qué los diagnósticos de residuos cambian la historia
Ramsey RESET y el problema de la forma funcional
ARCH, volatilidad y dependencia oculta en los errores al cuadrado
Raíces unitarias, regresión espuria y cointegración
Qué establece finalmente la investigación y qué permanece abierto
1. El modelo económico sometido a examen
El ejercicio empírico no comienza con una búsqueda de correlaciones guiada puramente por los datos. Parte de una proposición económica heredada de un estudio anterior de 2016. En la formulación utilizada aquí, la cantidad de dinero en circulación es tratada como una función de los precios de las mercancías de la economía y del precio internacional del oro, bajo condiciones simplificadoras relativas a la velocidad de circulación y a la estabilidad relativa de las variables durante el período analizado.
Para la aplicación estadounidense, los precios de las mercancías están representados empíricamente por el PIB nominal —denominado Current GDP en el conjunto de datos—, mientras que la segunda variable explicativa es el precio internacional del oro. El dinero en circulación, denotado por M, se convierte en la variable dependiente.
Relación conceptual
M = f(PIB corriente, Oro)
M → cantidad de dinero en circulación
PIB corriente → producto nominal, utilizado en el artículo como expresión empírica de los precios de las mercancías
Oro → precio internacional del oro
Esta dirección de la explicación es importante. El artículo no se limita a preguntar si el dinero, el producto y el oro se mueven conjuntamente. Su marco teórico asigna un significado económico específico a su relación. Por tanto, se supone que el modelo estadístico representa una concepción previa acerca de cómo funciona el proceso monetario.
Esta distinción entre relación estadística y significado económico se convierte posteriormente en uno de los temas recurrentes del artículo. Una regresión puede identificar dependencia matemática entre variables medidas, pero la interpretación de esa dependencia no surge automáticamente de los coeficientes de regresión. La proporciona el marco teórico dentro del cual se ha construido el modelo estadístico.
Una regresión puede decirnos cómo se mueven conjuntamente las variables bajo una especificación determinada. Por sí sola, no puede decirnos qué significan esos movimientos.
Esto es especialmente importante para los lectores ajenos a la economía. Imaginemos que dos indicadores políticos se mueven casi perfectamente juntos durante veinte años. La regresión no sabe si uno causa al otro, si ambos responden a un tercer proceso, si su tendencia común genera una correlación engañosa o si la relación cambia después de una ruptura institucional. Esas son preguntas acerca de la estructura del fenómeno y, por tanto, acerca de la especificación del modelo.
2. ¿Por qué estudiar Estados Unidos entre 1990 y 2011?
El artículo utiliza deliberadamente el mismo intervalo histórico general que el estudio anterior, pero traslada el escenario empírico de El Salvador a Estados Unidos. La elección no se presenta como una simple conveniencia neutral. Gómez Julián sostiene que la estructura social y económica de Estados Unidos vuelve especialmente útil este período porque contiene episodios capaces de poner al descubierto las debilidades de una especificación de regresión sencilla.
El intervalo comprende la larga expansión asociada con la era posterior a la Guerra Fría, el auge y colapso de las empresas puntocom, la crisis financiera que estalló en 2008 y los primeros años de sus consecuencias. En particular, las observaciones correspondientes a 2009, 2010 y 2011 son tratadas como analíticamente valiosas porque incorporan la perturbación macroeconómica posterior a la crisis financiera.
Por qué importan esas tres últimas observaciones
Un modelo puede comportarse bastante bien durante períodos relativamente tranquilos y revelar sus debilidades únicamente cuando el sistema es perturbado. Incluir 2009–2011 funciona, por tanto, como una pequeña prueba de estrés: ¿sobrevive la relación estimada a partir de los años anteriores cuando la economía atraviesa un episodio extraordinariamente turbulento?
El artículo insiste repetidamente en que las series de tiempo económicas son registros de procesos históricos y no observaciones intercambiables que flotan en un espacio estadístico abstracto. El año 2009 no es simplemente «la observación número 20». Viene después de 2008. Importa la historia que lo produjo. Esta idea se vuelve crucial cuando entran en la discusión la autocorrelación, la estabilidad estructural, las raíces unitarias y la cointegración.
Esta perspectiva histórica también explica por qué el artículo se resiste a tratar todo problema estadístico como algo que simplemente pueda eliminarse mediante una limpieza de los datos. Si una serie económica contiene persistencia, cambio estructural o tendencias estocásticas, esas propiedades pueden reflejar características del propio proceso económico. Un modelo debería, por tanto, intentar comprenderlas antes de eliminarlas mecánicamente.
3. La primera regresión parece casi demasiado buena
El modelo empírico inicial es una regresión lineal múltiple convencional estimada mediante mínimos cuadrados ordinarios. En notación simplificada,
Especificación MCO inicial
Mt = β0 + β1PIBt + β2Orot + εt
Para un lector que se encuentre con la econometría por primera vez, la idea es sencilla. La regresión elige los valores de los coeficientes β que hacen que la cantidad de dinero predicha sea lo más próxima posible —en el sentido de mínimos cuadrados— a la cantidad de dinero observada. El residuo ε de cada año es la parte que la ecuación no logra explicar.
Y, a primera vista, los resultados son extraordinariamente impresionantes.
Término / estadístico
Estimación
Valor p reportado
Intercepto
−2.130 × 10¹²
7.67 × 10⁻⁶
PIB corriente
0.8392
6.29 × 10⁻¹⁴
Oro
2.044 × 10⁹
8.10 × 10⁻⁵
R²
0.9834
—
R² ajustado
0.9817
—
Estadístico F global
563.3
< 2.2 × 10⁻¹⁶
Un R² de aproximadamente 0.983 significa que, dentro de esta especificación lineal ajustada, alrededor del 98.3 por ciento de la variación observada de la variable dependiente es explicada por los regresores. Ambos coeficientes de pendiente también parecen extraordinariamente significativos bajo los contrastes t convencionales. Si se juzgara la regresión únicamente por estas cifras principales, la tentación sería declarar la victoria.
Un 98 por ciento de variación explicada suena como el final de la historia. En este artículo, es donde comienza la parte interesante.
¿Por qué? Porque la significación estadística es condicional. Un estadístico t posee la interpretación que normalmente le atribuimos únicamente si la estructura probabilística supuesta por el modelo resulta suficientemente apropiada. Un R² puede ser enorme porque dos variables comparten realmente una relación económicamente significativa, pero también puede ser enorme cuando varias series de tiempo no estacionarias se desplazan a través del tiempo en direcciones ampliamente similares.
Del mismo modo, un ajuste visualmente excelente no demuestra que la forma funcional sea correcta. Una línea recta puede aproximar sorprendentemente bien una relación curva en una muestra corta. Tampoco establece que el componente no explicado se comporte como exige el marco clásico de regresión.
Los residuos se convierten entonces en testigos. Si contienen estructura temporal sistemática, varianza cambiante, información no lineal o patrones persistentes, el modelo ha dejado algo importante sin representar.
4. ¿Qué significa realmente que un modelo esté «bien especificado»?
Este es el puente conceptual entre la pregunta económica y la maquinaria estadística que ocupa el resto del estudio. Un modelo de regresión no está adecuadamente especificado simplemente porque sus valores ajustados se parezcan a las observaciones. Su forma matemática también debe ser compatible con características importantes del proceso generador de los datos.
01Forma funcional
¿Es suficiente la relación lineal supuesta, o contienen los términos cuadrados, cúbicos, logarítmicos u otras formas no lineales información sistemática que el modelo original omite?
02Estructura del error
¿Son los errores de regresión aproximadamente independientes y homocedásticos, o ayuda el pasado a predecir su magnitud o su varianza?
03Estructura temporal
¿Son estacionarias las variables, o hacen las tendencias estocásticas persistentes que la inferencia convencional de regresión sea potencialmente engañosa?
El artículo despliega, por tanto, una amplia batería diagnóstica: el contraste de especificación Ramsey RESET, pruebas ARCH, la prueba de heterocedasticidad de White, factores de inflación de la varianza para la colinealidad, pruebas de autocorrelación de los residuos, pruebas de normalidad residual, procedimientos CUSUM y CUSUM de cuadrados para la estabilidad de los parámetros y, más adelante en la investigación, técnicas de raíces unitarias y cointegración.
Vale la pena subrayar el punto filosófico detrás de esta batería. Ninguna prueba diagnóstica individual es tratada como un oráculo. Distintas pruebas examinan distintos fallos potenciales e incluso pueden producir indicaciones aparentemente contradictorias. La evaluación del modelo se vuelve, por tanto, acumulativa: un resultado suscita una sospecha, otro reduce las posibilidades, una modificación elimina un defecto pero quizá deja al descubierto otro, y la investigación avanza gradualmente hacia una representación más adecuada.
Una forma útil de pensar el contraste de hipótesis
En lugar de preguntar solamente «¿es estadísticamente significativo este coeficiente?», el artículo fomenta una secuencia más amplia de preguntas: ¿qué supuesto se está contrastando? ¿Qué implicaría rechazarlo para el modelo? Si se detecta un defecto, ¿qué nueva especificación debería considerarse? Y, después de modificar el modelo, ¿qué nuevos diagnósticos se vuelven necesarios?
Esto transforma el contraste de hipótesis de un ritual de estrellas y valores p en un método de crítica del modelo. En este sentido, las pruebas no están juzgando simplemente coeficientes individuales. Ayudan al investigador a decidir si la propia representación matemática debe sobrevivir en su forma actual.
5. La primera grieta: los errores recuerdan el pasado
Los diagnósticos posteriores del artículo muestran por qué el impresionante R² no puede aceptarse sin más. En la discusión empírica aparece un problema significativo de autocorrelación residual. En lenguaje sencillo, el error no explicado asociado con un año no se comporta como si estuviera desconectado de los errores de los años cercanos.
Esto importa porque los mínimos cuadrados ordinarios funcionan de manera más limpia cuando el proceso de error no contiene precisamente este tipo de dependencia temporal sistemática. Si los residuos están autocorrelacionados, la ecuación está diciendo, en efecto: «he explicado la parte sistemática del proceso», mientras que los residuos responden: «no; todavía has dejado dentro de mí cierta estructura temporal sistemática».
Intuición
Corr(εt, εt−1) ≠ 0
Si el componente no explicado de hoy contiene información acerca del componente no explicado de ayer, los errores no se están comportando como ruido independiente.
En un sistema genuinamente histórico esto difícilmente constituye una posibilidad exótica. La producción de un año depende parcialmente de la producción previa; las decisiones de inversión heredan expectativas y balances anteriores; las magnitudes monetarias acumulan historia institucional y financiera. El tiempo enlaza las observaciones.
La pregunta econométrica crucial no es, por tanto, si semejante dependencia puede existir —evidentemente puede—, sino si el modelo elegido la ha representado adecuadamente. Si no lo ha hecho, la dependencia temporal migra hacia los residuos.
El estudio responde introduciendo un término adicional construido a partir de cambios en el PIB nominal. Esta modificación mejora sustancialmente los diagnósticos de autocorrelación residual. Sin embargo, el autor reconoce explícitamente una limitación importante: la elección está motivada empíricamente y no deriva de una justificación teórica independiente, y el artículo no afirma haber realizado una búsqueda exhaustiva del número óptimo de rezagos, comparado todas las especificaciones dinámicas plausibles ni estimado la familia completa de alternativas tipo VAR.
Una limitación importante reconocida por el estudio
La especificación modificada debe entenderse, por tanto, como una solución diagnóstica provisional, no como el modelo definitivo y únicamente correcto. Su propósito es metodológico: mostrar cómo una prueba estadística puede revelar un problema, motivar una modificación y obligar al investigador a volver a someter a prueba el nuevo modelo.
Y eso es exactamente lo que ocurre. Corregir un problema no pone fin a la investigación. Una vez que la autocorrelación residual parece mejorar, otros diagnósticos —especialmente el comportamiento de los errores al cuadrado y las pruebas de especificación de Ramsey— plantean una posibilidad más difícil:
¿Y si el problema no es simplemente que la regresión haya olvidado una parte del pasado, sino que la relación misma haya sido escrita con la forma matemática equivocada?
Aquí entran en escena las dos herramientas diagnósticas centrales del artículo: la prueba ARCH, que pregunta si la varianza de los errores posee estructura temporal, y la prueba Ramsey RESET, que pregunta si determinadas combinaciones no lineales contienen información explicativa que la regresión original no consiguió captar.
Estas pruebas son el objeto de la siguiente etapa.
Fin de la Etapa I · A continuación: RESET, ARCH, CUSUM y la anatomía de la mala especificación
· · ·
6. Un modelo puede superar una prueba y fallar otra
Una vez que los residuos se convierten en objeto de investigación, emerge un principio importante: no existe una única cosa llamada «los supuestos de la regresión». Distintas pruebas diagnósticas plantean distintas preguntas acerca de diferentes aspectos del modelo. Superar una de ellas no implica, por tanto, superar las demás.
Esta distinción se vuelve especialmente clara en la regresión estadounidense del artículo. Los residuos parecen comportarse razonablemente bien en varios aspectos. La prueba de normalidad no aporta evidencia suficiente para rechazar residuos gaussianos. Los factores de inflación de la varianza son modestos, por lo que una multicolinealidad severa no parece estar determinando las estimaciones. La prueba de White tampoco aporta evidencia sólida de heterocedasticidad ordinaria.
Y, sin embargo, una prueba de autocorrelación residual detecta dependencia temporal.
Diagnóstico
Hipótesis nula
Resultado reportado
Lectura al 5%
White
No hay heterocedasticidad
p ≈ 0.232
No rechazar
LM de Breusch–Godfrey, orden 1
No hay autocorrelación residual
p ≈ 0.023
Rechazar
ARCH, orden 1
No hay efecto ARCH
p ≈ 0.991
No rechazar
Normalidad residual
Los residuos siguen una distribución normal
p ≈ 0.105
No rechazar
No existe ninguna contradicción lógica en esta combinación. Los errores pueden tener una varianza aproximadamente constante y una distribución marginal aproximadamente normal y, al mismo tiempo, ser serialmente dependientes. En otras palabras, el tamaño y la forma de la distribución de los errores pueden parecer aceptables aunque los errores próximos entre sí en el tiempo estén relacionados.
Un residuo, varias preguntas
White pregunta si la varianza cambia sistemáticamente. Breusch–Godfrey pregunta si los errores están serialmente correlacionados. ARCH pregunta si la propia varianza condicional presenta dependencia temporal. Una prueba de normalidad pregunta por la forma de la distribución de los residuos. Son preguntas relacionadas, pero no intercambiables.
Esta es una de las razones por las cuales el trabajo diagnóstico no puede reducirse a una lista de comprobación en la que cada prueba sea interpretada como otra versión de «buen modelo» frente a «mal modelo». Cada prueba ilumina una parte diferente de la estructura estadística.
7. Ramsey RESET: preguntar si la ecuación tiene la forma equivocada
La autocorrelación residual plantea la posibilidad de que algo sistemático haya escapado a la regresión. Pero, por sí sola, no nos dice exactamente qué. Una posibilidad es la dinámica temporal. Otra es una variable omitida. Una tercera es que la forma matemática supuesta de la propia relación sea inadecuada.
La prueba de error de especificación de regresión de Ramsey —RESET— fue diseñada como diagnóstico general precisamente para este tipo de mala especificación.
La intuición es más sencilla de lo que su nombre sugiere. Partimos de una regresión ajustada:
Modelo original
Mt =
β0 +
β1PIBt +
β2Orot +
εt
De esa ecuación obtenemos valores ajustados, M̂. RESET pregunta entonces si transformaciones no lineales —como M̂² o M̂³, o transformaciones no lineales relacionadas de los regresores— contienen información explicativa que la ecuación original no logró captar.
Intuición de RESET
Mt =
β0 +
β1PIBt +
β2Orot +
γ1M̂t2 +
γ2M̂t3 +
ut
HIPÓTESIS NULA → los términos no lineales adicionales no mejoran el modelo de forma estadísticamente significativa.
RECHAZO → la especificación original ha dejado sin explicar información no lineal sistemática.
Esto no significa que RESET descubra la ecuación alternativa correcta y única. Un rechazo no nos dice por sí mismo «utilice un modelo cuadrático» o «añada precisamente esta variable omitida». RESET se entiende mejor como un detector de humo: puede indicarnos que algún aspecto de la especificación merece atención sin identificar necesariamente el origen del humo.
Los resultados son reveladores, pero no uniformes
El artículo ejecuta varias versiones de RESET en R. Esto importa porque la conclusión depende en alguna medida de cómo se construya la información no lineal adicional.
Variante RESET en R
Potencia
Valor p
Con α = 0.05
Valores ajustados
2
0.06463
No rechazar
Regresores
2
0.1216
No rechazar
Forma de componentes principales
2
0.04188
Rechazar
Valores ajustados
3
0.01402
Rechazar
Regresores
3
0.1177
No rechazar
Forma de componentes principales
3
0.05739
No rechazar
Este patrón merece una interpretación cuidadosa. Existe evidencia de problemas de especificación, pero no un veredicto unánime entre todas las implementaciones. Dos versiones rechazan una especificación adecuada al umbral convencional del 5 por ciento, mientras que varias otras no lo hacen. Algunas de las no-rechazadas se encuentran, sin embargo, cerca de los umbrales convencionales.
El análisis en Gretl cuenta una historia similar. Una prueba de especificación que utiliza conjuntamente cuadrados y cubos reporta un valor p de aproximadamente 0.037, proporcionando evidencia contra la hipótesis nula de especificación adecuada. Una prueba de no linealidad logarítmica también rechaza la linealidad aproximadamente al nivel del 5 por ciento, mientras que otras formulaciones no lineales no lo hacen.
El resultado importante no es, por tanto, que «todas las pruebas RESET posibles rechazan». Es algo más sutil: la aparentemente excelente regresión lineal es vulnerable frente a los diagnósticos de especificación no lineal.
Esta distinción es fundamental. Si varias transformaciones plausibles revelan estructura predictiva que la regresión original deja sin explicar, el investigador ya no tiene buenas razones para considerar que la forma lineal inicial sea obviamente suficiente.
Y obsérvese cuánto nos hemos alejado del seductor R² de 0.983. La regresión sigue ajustándose extraordinariamente bien a la serie monetaria observada. Nada ha ocurrido que borre ese ajuste. Lo que ha cambiado es nuestra interpretación de lo que ese ajuste demuestra.
8. ARCH: cuando los errores están tranquilos hoy porque estuvieron tranquilos ayer
La segunda prueba destacada por el artículo es la prueba ARCH asociada con el trabajo de Robert Engle sobre heterocedasticidad condicional autorregresiva.
Su idea central es que la autocorrelación ordinaria y la dependencia de la volatilidad son fenómenos diferentes. Supongamos que resulta difícil predecir los signos de errores sucesivos: un error positivo puede ser seguido por uno negativo y después por otro positivo. La autocorrelación convencional podría entonces ser débil.
Pero supongamos que los errores grandes tienden a aparecer cerca de otros errores grandes, mientras que los errores pequeños tienden a agruparse alrededor de otros errores pequeños. Los signos pueden parecer irregulares mientras que las magnitudes recuerdan claramente el pasado.
La transformación clave
εt → εt2
Elevar al cuadrado elimina el signo y enfatiza la magnitud.
Si ε² en el período t está sistemáticamente relacionado con valores anteriores de ε², la varianza contiene estructura temporal.
Este es el núcleo de la idea ARCH. El artículo la introduce parcialmente mediante el lenguaje de las distribuciones de colas pesadas, pero el punto técnicamente decisivo es más específico: una prueba ARCH es una prueba de dinámica en la varianza condicional, no simplemente una prueba genérica de colas pesadas. Las colas pesadas y el agrupamiento de la volatilidad pueden estar empíricamente relacionados, pero no son la misma propiedad.
En la regresión inicial de 1990–2011, el valor p ARCH de primer orden reportado es aproximadamente 0.991. Al nivel convencional del 5 por ciento, no existe por tanto evidencia para rechazar la hipótesis nula de ausencia de efecto ARCH de primer orden.
Esto produce una combinación instructiva:
ADependencia serial
Los residuos ordinarios muestran evidencia de autocorrelación de primer orden.
BVarianza constante
La prueba de White no proporciona evidencia de heterocedasticidad general.
CAusencia inicial de ARCH
Los residuos al cuadrado no muestran evidencia de dependencia ARCH de primer orden.
Así, el problema temporal detectado en esta etapa concierne a los propios residuos y no a un agrupamiento claro de sus magnitudes al cuadrado. Esta distinción diagnóstica se vuelve importante cuando se modifica el modelo.
9. CUSUM frente a CUSUM de cuadrados: dos perspectivas de la estabilidad
Otra pregunta es si los coeficientes de regresión permanecen estables a lo largo de toda la muestra. Si la relación entre dinero, PIB nominal y oro cambia sustancialmente con el tiempo, un único conjunto de coeficientes estimado para 1990–2011 puede estar ocultando varios regímenes diferentes.
El artículo aborda esta cuestión mediante CUSUM y CUSUM de cuadrados. Ambos procedimientos examinan el comportamiento acumulado de los residuos, pero no poseen propiedades estadísticas idénticas ni la misma sensibilidad frente a distintas formas de inestabilidad.
Y aquí los resultados parecen discrepar.
El conflicto aparente
El análisis CUSUM ordinario indica inestabilidad de los parámetros a partir aproximadamente de la transición entre 2006 y 2007. El gráfico CUSUM de cuadrados, en cambio, permanece dentro de sus límites de confianza y, por tanto, apunta hacia estabilidad de los parámetros a lo largo de la muestra.
El artículo no se limita a promediar estas conclusiones. Recurre a literatura metodológica que compara las pruebas mediante simulaciones de Monte Carlo y concede mayor peso analítico al CUSUM de cuadrados, que la investigación citada describe como más fiable bajo diversas formas de mala especificación y más resistente en contextos con regresores no predeterminados, cointegración o correlación serial débil.
Esta es otra lección útil de la práctica estadística. Dos pruebas pueden discrepar sin que ninguno de los cálculos sea mecánicamente «incorrecto». Las pruebas poseen distinta potencia frente a distintas alternativas. Reaccionan de manera diferente a la ubicación, forma y magnitud del cambio estructural. También importan sus supuestos.
La evidencia estadística no se produce contando cuántas pruebas dicen «sí» y cuántas dicen «no». Hay que preguntar qué es capaz de detectar realmente cada prueba.
Aun así, el resultado del CUSUM ordinario sigue siendo económicamente sugerente. Resulta difícil ignorar el momento en que aparece: la inestabilidad surge cerca de los años inmediatamente anteriores a la crisis de 2008. El artículo no trata esto como prueba de que la crisis haya sido detectada estadísticamente con antelación, sino como una observación que merece una investigación adicional.
Esta cautela es importante. Un gráfico diagnóstico puede revelar un patrón inusual. Explicar la causa histórica de ese patrón requiere algo más que el propio gráfico.
10. Reparar el modelo crea un nuevo modelo y, por tanto, nuevos problemas
Tras identificar autocorrelación residual, el artículo experimenta con un término adicional relacionado con el PIB. Es aquí donde la lógica del contraste de hipótesis se vuelve especialmente visible: el diagnóstico conduce a la reespecificación, y la reespecificación exige inmediatamente otra ronda de diagnóstico.
Una notación que requiere cuidado
El artículo describe en algunos lugares la variable añadida como relacionada con las segundas diferencias del PIB nominal, mientras que también la identifica como Current GDP (t−2) y denomina a la variable de Gretl CurrentGDPt2. Estas operaciones no son matemáticamente idénticas: un rezago de dos períodos, PIBt−2, es distinto de una segunda diferencia, Δ²PIBt. Por este motivo, la lectura más segura consiste en preservar la variable y los resultados reportados por el artículo reconociendo al mismo tiempo que su descripción verbal y su notación no están plenamente alineadas.
El autor es explícito acerca de otra limitación: no ofrece un argumento teórico independiente para elegir esta modificación particular. Se adopta porque los resultados empíricos mejoran respecto de una alternativa probada en el estudio. La investigación tampoco afirma haber realizado una búsqueda exhaustiva entre estructuras óptimas de rezagos, selección de rezagos mediante Monte Carlo, modelos VAR o todas las especificaciones dinámicas competidoras.
Esta cautela importa. El término añadido constituye una reparación econométrica provisional, no una declaración de que se haya descubierto el modelo estructural definitivo.
La regresión modificada produce, no obstante, otro ajuste sorprendentemente elevado:
Estadístico
Modelo modificado
Punto interpretativo
R²
≈ 0.9904
El ajuste mejora todavía más
R² ajustado
≈ 0.9888
Permanece extraordinariamente alto
Durbin–Watson
≈ 0.879
Sigue muy por debajo del valor de referencia cercano a 2
Prueba de White
p ≈ 0.054
Resultado limítrofe, pero no se rechaza al 5%
La secuencia de Breusch–Godfrey se vuelve especialmente reveladora. Para órdenes de rezago entre dos y seis, los valores p reportados se sitúan por encima de 0.05. Sin embargo, la prueba de primer orden continúa siendo significativa, con un valor p de aproximadamente 0.020.
Una lectura cuidadosa exige, por tanto, una matización. El artículo describe posteriormente la modificación como una solución al problema de autocorrelación a lo largo de la estructura de rezagos examinada, pero el resultado LM de primer orden mostrado todavía rechaza la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación al 5 por ciento. En consecuencia, la conclusión más segura a partir del resultado numérico es que la modificación cambia sustancialmente y debilita el patrón de autocorrelación detectado, pero no elimina inequívocamente la autocorrelación residual de primer orden.
Por qué esto importa metodológicamente
Un investigador debería privilegiar el resultado estadístico reportado frente al deseo de construir una narración ordenada. Si un diagnóstico continúa siendo problemático, el modelo permanece abierto desde el punto de vista diagnóstico, incluso cuando la mayoría de las demás cifras mejoran.
También ocurre algo más. En el modelo modificado, RESET se vuelve mucho más contundente. Gretl reporta valores p de aproximadamente 0.0036 para una prueba de especificación basada únicamente en cuadrados y de 0.0014 para pruebas que involucran cubos y la formulación conjunta de cuadrados y cubos.
En otras palabras, añadir estructura temporal puede aliviar un problema y al mismo tiempo hacer más visible otro. La mejora del ajuste no rescata la especificación lineal. Por el contrario, los diagnósticos no lineales proporcionan ahora evidencia más fuerte de que la ecuación continúa dejando estructura sistemática sin explicar.
Los diagnósticos ARCH también se vuelven más interesantes. La prueba ARCH de primer orden en la especificación modificada reporta un valor p de aproximadamente 0.069. No es significativo al 5 por ciento, pero sí es inferior al 10 por ciento. Las pruebas de órdenes superiores reportadas para los órdenes dos y tres son mucho menos sugerentes de un efecto ARCH.
Esta es la razón por la que el artículo considera el comportamiento alterado de ARCH, junto con el estadístico Durbin–Watson persistentemente bajo, como una advertencia y no como una resolución limpia de los problemas del modelo.
11. El contraste de hipótesis como método iterativo de crítica
En este punto, la investigación ha alcanzado un resultado más importante que cualquier valor p individual.
El modelo original parecía excepcionalmente sólido según las medidas convencionales más visibles. Los diagnósticos revelaron posteriormente dependencia residual. Una especificación modificada cambió esa dependencia, pero no hizo desaparecer todas las señales de advertencia. RESET continuó —y en algunas versiones lo hizo de forma todavía más enfática— sugiriendo que la forma lineal estaba incompleta.
El flujo de trabajo se parece, por tanto, menos a un problema de estimación de una sola vez y más a una secuencia:
Este es el corazón metodológico del artículo. Los contrastes de hipótesis son valiosos no porque un valor p declare mecánicamente qué es la realidad, sino porque pruebas cuidadosamente elegidas pueden revelar dónde una determinada representación matemática deja de comportarse como debería.
Y el siguiente problema es todavía más fundamental.
Todo lo discutido hasta ahora presupone que la inferencia convencional de regresión tiene sentido para estas series de tiempo. Pero el PIB, la cantidad de dinero y los precios del oro evolucionan históricamente y con frecuencia presentan fuertes tendencias a lo largo del tiempo. Si estas series no son estacionarias, pueden surgir un R² extraordinariamente alto y estadísticos t espectaculares incluso cuando una regresión convencional resulta estadísticamente engañosa.
Antes de preguntar si los coeficientes son impresionantes, debemos preguntar si las series de tiempo permiten que esos coeficientes signifiquen lo que creemos que significan.
Esto lleva la investigación desde los diagnósticos de regresión hasta uno de los problemas más profundos de la econometría aplicada de series de tiempo: raíces unitarias, regresión espuria y cointegración.
Y es allí donde la aparentemente sencilla regresión monetaria se convierte en un objeto mucho más interesante.
Fin de la Etapa II · A continuación: raíces unitarias, regresión espuria y cointegración
· · ·
12. El problema más profundo: ¿qué ocurre si las propias series no permanecen quietas?
Los diagnósticos de especificación ya han complicado la aparentemente excelente regresión por MCO. Pero ahora el artículo introduce un problema que llega más lejos que la autocorrelación residual o que un término no lineal omitido: la no estacionariedad.
Para entender por qué importa, pensemos en lo que una regresión convencional espera silenciosamente. Si observamos una variable a través del tiempo, nos gustaría que su comportamiento probabilístico fuera lo suficientemente estable como para que observaciones de diferentes años siguieran siendo significativamente comparables. En la forma débil de estacionariedad destacada en el artículo, la media y la varianza permanecen constantes a través del tiempo, mientras que la covarianza entre dos observaciones depende de la distancia que las separa y no de la fecha concreta del calendario en que ocurren.
Estacionariedad débil — intuición
E(Yt) = μ
·
Var(Yt) = σ²
·
Cov(Yt,Yt−k) = γ(k)
El entorno estadístico no cambia sistemáticamente por el simple hecho de que avance el calendario.
Las series económicas frecuentemente vuelven difícil este supuesto. El PIB nominal crece durante décadas. Los agregados monetarios se expanden. Los precios de los activos pueden deambular durante largos períodos. Un choque ocurrido hoy puede alterar no sólo la siguiente observación, sino también el nivel alrededor del cual evolucionarán las observaciones futuras.
Es en este contexto donde adquiere importancia el concepto de raíz unitaria.
Tomemos el proceso autorregresivo más sencillo:
Representación AR(1)
Yt = ρYt−1 + ut
Si |ρ| es cómodamente inferior a uno, los choques tienden a desvanecerse. Pero cuando ρ = 1, la ecuación se convierte en
El caso de raíz unitaria
Yt = Yt−1 + ut
ΔYt = ut
Un choque entra permanentemente en el nivel de la serie en lugar de ser arrastrado mecánicamente de vuelta hacia una media fija.
En la notación mediante operador de rezagos discutida en el artículo, esto se expresa como
Forma polinómica de rezagos
(1 − L)Yt = ut
Igualar a cero el polinomio de rezagos produce 1 − L = 0 y, por tanto, L = 1: la «raíz unitaria».
La consecuencia práctica es crucial. Un proceso con raíz unitaria contiene una tendencia estocástica. Su trayectoria depende acumulativamente de los choques pasados. Una perturbación no es simplemente ruido temporal alrededor de una trayectoria inalterada; se convierte en parte de la historia desde la cual comienza la siguiente observación.
En un mundo estacionario, los choques se desvanecen alrededor de un centro estadístico estable. En un mundo con raíz unitaria, los choques pasan a formar parte de la trayectoria.
Esta es una de las razones por las cuales el artículo dedica considerable atención al carácter histórico de las series de tiempo económicas. Su argumento más amplio es que la persistencia no debería tratarse automáticamente como datos sucios que hay que eliminar antes de que comience «el verdadero» análisis. El movimiento persistente puede contener por sí mismo información acerca del proceso económico subyacente.
13. Una disputa macroeconómica se convierte en una lección de econometría de series de tiempo
En este punto el artículo realiza una larga digresión histórica a través del debate que rodeó la recesión de 2008–2009, especialmente el desacuerdo entre Gregory Mankiw, Paul Krugman, Brad DeLong y otros acerca de si debía esperarse que las pérdidas de producto asociadas con las recesiones desaparecieran posteriormente mediante un crecimiento extraordinariamente rápido.
La cuestión técnica que subyace a la polémica es muy relevante para el artículo. Imaginemos que el producto se desploma durante una recesión. Pueden contarse dos historias estadísticas muy diferentes.
AHistoria de estacionariedad alrededor de una tendencia
La recesión empuja temporalmente el producto por debajo de una trayectoria subyacente. Una vez desaparecido el choque, un crecimiento extraordinariamente fuerte puede devolver el producto hacia aquella antigua trayectoria.
BHistoria de raíz unitaria
La recesión cambia el nivel a partir del cual evoluciona posteriormente la economía. El crecimiento puede reanudarse, pero una parte del producto perdido no se recupera automáticamente.
CPregunta empírica
Decidir entre estas historias no es una cuestión semántica. Cambia tanto las predicciones como la interpretación de los choques macroeconómicos.
El artículo se inclina firmemente por la idea de que los economistas no deberían presuponer un retorno automático a una tendencia anterior. Invoca tanto la literatura sobre raíces unitarias como evidencia posterior según la cual, en promedio entre distintos países, el producto después de las crisis puede permanecer permanentemente por debajo de su trayectoria tendencial previa.
Para la regresión monetaria, sin embargo, la importancia de este debate es metodológica y no meramente histórica. Si las series macroeconómicas pueden heredar permanentemente los choques, entonces ajustar una serie en niveles con tendencia contra otra exige considerable cautela.
Y eso conduce a una famosa trampa estadística.
14. La hermosa regresión que puede no significar nada
Supongamos que dos variables completamente independientes entre sí aumentan persistentemente con el tiempo. Una regresión de una sobre la otra puede producir un R² elevado, estadísticos t aparentemente significativos y una elegante línea ajustada, aunque no exista ninguna relación significativa que las conecte.
Este es el problema clásico de la regresión espuria.
Por qué es peligrosa la no estacionariedad
Cuando variables no estacionarias no relacionadas comparten tendencias persistentes, la maquinaria de regresión ordinaria puede confundir el comportamiento tendencial común con verdadero poder explicativo. La inferencia habitual mediante t y F puede entonces dejar de ser fiable.
Esta posibilidad hace que el resultado original —R² ≈ 0.983— adquiera de pronto un aspecto bastante distinto. Al principio parecía constituir el mayor logro del modelo. Ahora, su enorme magnitud, combinada con un estadístico Durbin–Watson relativamente bajo, forma parte de las razones para investigar si el ajuste podría ser engañoso.
El artículo invoca la regla práctica tradicional asociada con este problema: cuando una regresión estimada con series de tiempo presenta un R² muy alto acompañado de un estadístico Durbin–Watson mucho más bajo, existe motivo para sospechar una regresión espuria. La regla es diagnóstica y no constituye una demostración, por lo que el análisis no puede detenerse allí.
Un R² elevado constituye evidencia de ajuste. Por sí solo, no demuestra que las variables compartan una relación genuina de largo plazo.
Este es quizá el giro más importante de toda la investigación. El mismo estadístico puede parecer tranquilizador al comienzo de un análisis y sospechoso posteriormente, una vez que conocemos mejor las propiedades temporales de los datos.
15. Dickey–Fuller: comprobar si los choques desaparecen o se acumulan
Para investigar el problema, el artículo recurre a la familia de pruebas de raíces unitarias de Dickey–Fuller, especialmente la prueba de Dickey–Fuller aumentada (ADF) y la variante ADF–GLS / DF–GLS.
Una manera conveniente de comprender su lógica consiste en reescribir el proceso autorregresivo en términos de cambios:
Lógica ADF — forma simplificada
ΔYt
=
α + βt + γYt−1
+
Σ δiΔYt−i
+
εt
HIPÓTESIS NULA → raíz unitaria.
Si γ es compatible con cero, el nivel anterior no genera el tipo de reversión hacia la media necesario para rechazar la hipótesis de raíz unitaria.
Las diferencias rezagadas se incluyen para absorber dependencia serial adicional.
La prueba puede estimarse bajo diferentes especificaciones deterministas: sin constante ni tendencia determinista, con constante o con constante y tendencia. Esta elección no es meramente cosmética. Una serie que parece no estacionaria bajo una especificación puede comportarse de manera diferente una vez que se modela explícitamente una tendencia determinista.
El artículo también enfatiza la selección de rezagos y emplea criterios de información —incluidas variantes de AIC y BIC— porque muy pocos rezagos pueden dejar autocorrelación residual, mientras que demasiados pueden consumir un número considerable de grados de libertad en una muestra que ya es muy pequeña.
Una aclaración estadística crucial
En el lenguaje estándar del contraste de hipótesis, un valor p no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera ni la probabilidad de que rechazarla constituya un error de tipo I. Es la probabilidad, suponiendo verdaderos la hipótesis nula y el modelo de la prueba, de obtener un estadístico de prueba al menos tan extremo como el observado. A lo largo de esta lectura guiada, los valores p se interpretan en ese sentido frecuentista convencional.
¿Qué ocurre con las variables?
El panorama resultante no es lo suficientemente limpio como para permitir afirmar en una sola frase que todas las series se comportan de manera idéntica.
Para la cantidad de dinero, el artículo reporta evidencia de raíz unitaria en niveles bajo las especificaciones que examina. El comportamiento del PIB nominal y del término relacionado con el PIB difiere entre pruebas y especificaciones, mientras que la serie del precio del oro también cambia de clasificación dependiendo de si se incluyen una constante y una tendencia determinista.
El punto importante para el argumento no es, por tanto, que «las cuatro variables posean exactamente el mismo orden de integración». El punto importante es que la no estacionariedad es lo suficientemente generalizada como para convertir la validez de una regresión en niveles en una cuestión econométrica seria.
El artículo examina entonces las primeras diferencias.
Diferenciación
ΔYt = Yt − Yt−1
En lugar de modelar el nivel —por ejemplo, el stock de dinero—, modelamos su cambio entre un período y el siguiente.
Si una serie es I(1), diferenciarla una vez debería producir ordinariamente un proceso I(0), es decir, estacionario. Sin embargo, los resultados del artículo vuelven a ser mixtos. Algunas especificaciones en primeras diferencias se vuelven estacionarias, mientras que otras continúan exhibiendo comportamiento de raíz unitaria dependiendo de los términos deterministas incluidos.
Serie analizada
Resultado en primeras diferencias reportado por el artículo
PIB nominal
Los resultados dependen de la especificación; el artículo encuentra comportamiento estacionario en variantes relevantes, pero no uniformemente en todas las formulaciones.
Cantidad de dinero
Comportamiento de raíz unitaria sin términos deterministas; aparece estacionariedad cuando se consideran especificaciones con constante y/o tendencia.
Precio del oro
Raíz unitaria en las especificaciones sin tendencia; se obtiene estacionariedad cuando se incorporan deriva y tendencia determinista.
Esto impide que la diferenciación funcione como una cura universal y sencilla en el ejercicio del artículo. La investigación regresa, por consiguiente, a la relación en niveles y plantea una pregunta más interesante.
16. Dos series no estacionarias todavía pueden pertenecer una a la otra
La no estacionariedad no implica automáticamente que una regresión sea espuria.
Supongamos que dos variables deambulan a través del tiempo, cada una portando una tendencia estocástica. Si deambulan independientemente, una regresión de una sobre la otra puede efectivamente crear una relación estadística carente de significado. Pero supongamos que sus movimientos de largo plazo están vinculados de modo que una determinada combinación lineal de ambas sea estacionaria.
Se dice entonces que ambas series están cointegradas.
Cointegración — intuición más sencilla
Yt ~ I(1),
Xt ~ I(1)
pero
Yt − βXt ~ I(0)
Cada serie puede deambular individualmente mientras su discrepancia de largo plazo permanece acotada.
Una imagen útil es la de dos excursionistas que caminan por un sendero irregular de montaña unidos por una cuerda. Ninguno permanece en una posición fija; ambos pueden alejarse mucho del lugar donde comenzaron. Pero no pueden separarse arbitrariamente uno del otro. Sus coordenadas individuales son no estacionarias, mientras que la distancia impuesta por la cuerda permanece restringida.
La cointegración significa que las variables pueden deambular sin hacerlo independientemente.
Esta distinción rescata del problema de la regresión espuria una importante clase de relaciones económicas de largo plazo. Una regresión en niveles entre variables no estacionarias puede tener sentido si esas variables comparten una auténtica relación de cointegración.
El artículo pasa entonces de preguntar por las variables individualmente a preguntar por su estructura estocástica conjunta.
17. Engle–Granger: observar qué queda después de la relación de largo plazo
La primera vía explorada es la lógica de Engle–Granger. Se estima una relación candidata de largo plazo y se obtienen sus residuos:
Ecuación candidata de largo plazo
Mt
=
β0
+
β1PIBt
+
β2Orot
+
ut
Comprobar si ût es estacionario.
La intuición es poderosa. Si el dinero, el PIB y el oro simplemente comparten tendencias no relacionadas, el error de su regresión puede deambular indefinidamente. Si, por el contrario, su combinación representa una relación estable de largo plazo, las desviaciones respecto de esa relación no deberían alejarse ilimitadamente.
La pregunta detrás de Engle–Granger
Después de ajustar la relación de largo plazo propuesta, ¿se comportan los residuos como otro proceso no estacionario o regresan hacia un rango estadísticamente estable?
El artículo reporta un resultado incómodo. Algunas de las series individuales no satisfacen de la misma manera las condiciones relativas a las raíces unitarias, y la evidencia basada en los residuos no produce la configuración completamente limpia que buscaba el autor. Un valor p reportado de aproximadamente 0.099 forma parte de este panorama inconcluso al nivel de significación del 5 por ciento.
En lugar de tratar esta ambigüedad como el final del ejercicio, el artículo pasa a un método multivariado: el enfoque de Johansen.
Nota técnica sobre terminología
El artículo describe una «regresión cointegrante» como una regresión que incluye explícitamente el tiempo y denomina al tiempo la variable que cointegra las series. Esa no es la definición estándar de cointegración de Engle–Granger. En la econometría convencional, la cointegración se refiere a si una combinación lineal de variables integradas —normalmente examinada mediante los residuos de su relación en niveles— es estacionaria. Puede incluirse una tendencia temporal determinista en una especificación, pero eso no convierte por sí mismo al tiempo en «la variable cointegrante». Aquí se conserva la secuencia empírica reportada por el artículo, haciendo explícita esta distinción para evitar confundir ambos conceptos.
18. Johansen: dejar de examinar una ecuación a la vez
Engle–Granger está construido naturalmente alrededor de una única relación cointegrante candidata. El método de Johansen aborda el problema como un sistema. En lugar de escoger una variable como única variable dependiente y relegar las demás al lado derecho de la ecuación, las variables se integran dentro de una estructura vectorial autorregresiva.
El artículo aplica el procedimiento de Johansen a un sistema de cuatro variables que contiene la cantidad de dinero, el PIB corriente, el término adicional relacionado con el PIB y el oro.
El objeto central puede representarse mediante una forma vectorial de corrección de errores:
Marco de Johansen — forma esquemática
ΔYt
=
ΠYt−1
+
Σ ΓiΔYt−i
+
εt
El rango de la matriz Π contiene la información esencial.
r = 0No existe relación cointegrante
No se detecta ninguna combinación lineal estacionaria de largo plazo entre las variables integradas.
0 < r < nCointegración
Una o más relaciones independientes de largo plazo restringen el movimiento conjunto de las variables.
r = nRango completo
En el marco estándar, el sistema no posee la estructura de una colección de variables I(1) que requieran un análisis de cointegración en el sentido habitual.
Johansen proporciona dos estrategias de contraste conocidas: el estadístico de la traza y el estadístico del máximo valor propio. Abordan de manera ligeramente diferente la cuestión del rango, pero ambos preguntan cuántas relaciones independientes de largo plazo están respaldadas por el sistema.
Para el argumento del artículo, la hipótesis nula más importante es
La hipótesis nula decisiva
H0: r = 0
No existe ninguna relación de cointegración.
El artículo examina más de una especificación determinista
Los resultados de Johansen se reportan bajo supuestos alternativos respecto de los componentes deterministas: un sistema tratado esencialmente como un paseo aleatorio puro, otro que incorpora deriva y otro que permite deriva junto con una tendencia determinista.
En todos estos casos, el artículo destaca el mismo hallazgo: se rechaza la hipótesis nula de cero relaciones cointegrantes.
Configuración de Johansen analizada
Hipótesis clave
Interpretación del artículo
Sin constante / paseo aleatorio puro
r = 0
Rechazada
Especificación con deriva
r = 0
Rechazada
Deriva + tendencia determinista
r = 0
Rechazada
El resultado mostrado para el primer caso es especialmente contundente: el estadístico de la traza para r = 0 se reporta con un valor p prácticamente igual a cero. Las otras especificaciones deterministas también rechazan la hipótesis de rango cero.
El artículo interpreta, por tanto, los resultados de Johansen como evidencia de que el fuerte movimiento conjunto observado en la regresión no es simplemente una correlación accidental entre series tendenciales no relacionadas.
Las variables pueden ser no estacionarias por separado y, sin embargo, el sistema puede contener una relación de largo plazo estadísticamente detectable.
19. Entonces, ¿era espuria la regresión original?
La respuesta final del artículo a esta pregunta concreta es no.
Esta respuesta no se obtiene a partir del R² original, de la significación de los coeficientes del PIB y del oro ni de la estrecha correspondencia visual entre el dinero predicho y el observado. Todo eso ya estaba disponible al comienzo de la investigación.
La conclusión aparece únicamente después de una cadena mucho más larga:
Del ajuste aparente a la validación de largo plazo
R² elevado
→ diagnósticos de residuos
→ problemas de especificación
→ pruebas de raíces unitarias
→ sospecha de regresión espuria
→ primeras diferencias
→ análisis de cointegración residual
→ pruebas sistémicas de Johansen
Según la interpretación que hace el artículo de la evidencia de Johansen, rechazar r = 0 significa que existe al menos una relación de largo plazo dentro del sistema. Esto elimina el temor específico de que el elevado ajuste original no sea más que la clásica regresión absurda creada por tendencias estocásticas no relacionadas.
Pero —y esto es esencial— «no espuria» no significa «correctamente especificada».
Las dos preguntas son lógicamente distintas.
PREGUNTA 1¿Es espuria la regresión?
El artículo utiliza la evidencia de Johansen para responder: aparentemente no; existe una relación cointegrante.
PREGUNTA 2¿Es óptima la especificación?
No. RESET y los diagnósticos de residuos ya han proporcionado razones para dudar de la formulación lineal sencilla.
PREGUNTA 3¿Se conoce el modelo dinámico definitivo?
No. El artículo deja explícitamente los modelos VAR, SVAR, VEC y otros enfoques dinámicos relacionados como vías para investigaciones posteriores.
En este punto la investigación se vuelve mucho más interesante que un ejercicio estándar sobre «coeficientes significativos». Las variables monetarias pueden poseer una verdadera relación estadística de largo plazo y, al mismo tiempo, la ecuación lineal concreta elegida inicialmente para representar esa relación puede permanecer incompleta.
La distinción central
La cointegración puede defender una relación de largo plazo frente a la acusación de regresión espuria sin defender la especificación exacta de la regresión utilizada para representar esa relación.
Una relación teóricamente significativa puede ser real y, sin embargo, no lineal. Puede ser real y, sin embargo, dinámica. Puede ser real y, sin embargo, requerir varias ecuaciones en lugar de una sola. Puede superar la prueba de espuriedad y aun así fracasar en una prueba de especificación.
Esta distinción prepara la pregunta final del artículo y de esta lectura guiada:
Después de todas estas pruebas, ¿qué se ha establecido realmente acerca del dinero, los precios, el oro y el papel del contraste de hipótesis, y qué afirmaciones irían más allá de la evidencia?
Aquí comienza la etapa final.
Fin de la Etapa III · A continuación: qué establece el estudio, sus límites y la síntesis final
· · ·
20. Después de todas esas pruebas, ¿qué ha sobrevivido realmente?
Ahora podemos regresar a la engañosamente sencilla regresión con la que comenzó la investigación. El dinero en circulación fue modelado como una función del PIB nominal y del precio internacional del oro. Los mínimos cuadrados ordinarios produjeron un R² extraordinariamente alto, coeficientes altamente significativos y valores ajustados que visualmente seguían muy de cerca la serie monetaria observada.
Si la investigación se hubiera detenido allí, la conclusión habría sido sencilla: el modelo se ajusta extraordinariamente bien.
Pero no se detuvo allí.
Los diagnósticos de residuos plantearon preguntas acerca de la dependencia serial. Las pruebas RESET mostraron que podía importar información no lineal. CUSUM y CUSUM de cuadrados no contaron exactamente la misma historia acerca de la estabilidad de los parámetros. Una modificación relacionada con el término del PIB cambió algunos resultados diagnósticos al mismo tiempo que generó nuevas preguntas. Las pruebas de raíces unitarias revelaron posteriormente un peligro más profundo: las propias variables contenían suficiente comportamiento no estacionario como para hacer potencialmente engañosa una regresión convencional en niveles.
Finalmente, el análisis de cointegración proporcionó al artículo una salida frente al problema de la regresión espuria. Las pruebas de Johansen rechazaron la hipótesis de cero relaciones cointegrantes bajo las especificaciones deterministas examinadas. El autor concluye, por tanto, que la regresión no es simplemente el producto artificial de series de tiempo tendenciales no relacionadas.
El resultado en una frase
El artículo encuentra evidencia de que las variables comparten una auténtica relación estadística de largo plazo y, simultáneamente, encuentra que la regresión lineal particular utilizada para representar esa relación todavía no constituye un modelo especificado de manera óptima.
Esta combinación no constituye una contradicción. Podría decirse que es la lección sustantiva más importante de todo el ejercicio.
21. Una relación puede sobrevivir incluso cuando un modelo no lo hace
Es útil separar tres proposiciones que fácilmente pueden confundirse como si fueran una sola.
01Las variables están asociadas
Las regresiones estimadas muestran un movimiento conjunto estadístico muy fuerte entre el dinero, el PIB nominal y el oro.
02La asociación no es meramente espuria
Los resultados de Johansen se interpretan como evidencia de cointegración y, por tanto, contra la hipótesis de que la relación en niveles sea simplemente una regresión absurda entre tendencias no relacionadas.
03La ecuación lineal es óptima
Esta proposición no sobrevive. Los diagnósticos de especificación dejan razones importantes para buscar una representación matemática mejor.
Esta distinción es fundamental en econometría aplicada. La crítica empírica de una ecuación concreta no necesariamente refuta la relación subyacente que motivó esa ecuación. A la inversa, la evidencia de que existe una relación no confiere inmunidad a la ecuación elegida para describirla.
Una especificación fallida no implica automáticamente una teoría fallida; y un ajuste exitoso no implica automáticamente una especificación exitosa.
Esta es la razón por la que el énfasis metodológico del artículo en el contraste de hipótesis resulta tan importante. Las pruebas separan progresivamente preguntas que la salida de una única regresión tiende a confundir.
22. Lo que el estudio no establece
La forma más segura de comprender su contribución consiste también en especificar sus límites.
En primer lugar, el artículo no descubre una ecuación dinámica definitiva y únicamente correcta para el proceso monetario estadounidense. La variable adicional relacionada con el PIB se presenta explícitamente como una modificación motivada empíricamente y no como consecuencia de una derivación teórica completa. El autor también reconoce que el análisis no determina exhaustivamente la estructura óptima de rezagos mediante simulación ni compara sistemáticamente todas las alternativas dinámicas posibles.
En segundo lugar, la existencia de cointegración no resuelve por sí misma todas las cuestiones económicas sustantivas. Indica que las variables poseen una estructura estadística de largo plazo que restringe su evolución conjunta. El significado económico y la dirección atribuidos a esa estructura provienen del marco teórico dentro del cual se construyó la regresión.
El propio artículo establece precisamente esta distinción metodológica más amplia en una parte anterior del análisis: los modelos de regresión representan relaciones entre variables, mientras que el significado y la dirección de esas relaciones deben interpretarse mediante el marco teórico pertinente.
La cointegración es importante, pero no lo es todo
Rechazar la hipótesis de cero relaciones cointegrantes ayuda a responder la pregunta estadística específica de si el aparente movimiento conjunto de largo plazo puede descartarse como una regresión espuria. No identifica automáticamente la mejor forma funcional, la estructura dinámica completa ni todos los mecanismos causales que operan entre las variables.
En tercer lugar, la muestra empírica es pequeña. El período principal contiene únicamente veintidós observaciones anuales, desde 1990 hasta 2011. Esto importa especialmente una vez que entran en el análisis regresores adicionales, estructuras de rezagos, términos no lineales y procedimientos multivariados de series de tiempo. Cada parámetro adicional consume información escasa.
Por tanto, el estudio debe leerse como una investigación econométrica acerca de la especificación y el diagnóstico, y no como el modelo definitivo posible de la estructura monetaria de Estados Unidos.
23. Por qué 2009–2011 terminaron siendo importantes
Uno de los ejercicios empíricos más interesantes del artículo es la comparación entre especificaciones que contienen los primeros años posteriores a la crisis de 2008 y versiones que terminan en 2008.
Una expectativa ingenua podría ser que añadir tres años extraordinariamente turbulentos simplemente empeoraría la regresión. Pero los diagnósticos no producen un resultado tan sencillo.
Por ejemplo, el artículo reporta un estadístico Durbin–Watson de aproximadamente 0.91 para 1990–2011 frente a aproximadamente 0.51 para 1990–2008. Ninguno de los dos valores es particularmente tranquilizador por sí solo, pero la muestra más larga se acerca más al valor convencional de referencia situado alrededor de dos.
La comparación de CUSUM también es notable. El artículo identifica cinco observaciones asociadas con inestabilidad en la versión de 1990–2011, frente a diez en el ejercicio más corto de 1990–2008, mientras que CUSUM de cuadrados indica estabilidad en ambos casos.
Y después de la modificación provisional relacionada con el PIB, el período más largo vuelve a comportarse mejor en algunos diagnósticos de autocorrelación: el artículo reporta que la autocorrelación de órdenes superiores desaparece antes en la muestra 1990–2011 que en la muestra acortada.
Una lección empírica útil
Añadir observaciones correspondientes a una crisis no «contamina» mecánicamente un modelo econométrico. En ocasiones, son precisamente esas observaciones las que revelan con mayor claridad la estructura del proceso o modifican los diagnósticos de una forma que obliga al investigador a reconsiderar lo que aparentemente decían los años tranquilos.
Esto refuerza la orientación histórica del artículo. Una crisis no es simplemente un valor atípico incómodo situado fuera del sistema. Para un análisis económico, las observaciones de crisis pueden formar parte del fenómeno que se pretende comprender.
24. Por qué el siguiente paso natural es un sistema y no otra ecuación aislada
Al final de la investigación, varias pistas apuntan en una misma dirección.
Las variables poseen una persistencia temporal considerable. Aparece autocorrelación residual en especificaciones importantes. La no linealidad sigue siendo una preocupación. Se plantea la posibilidad de interacción endógena. La cointegración indica que las variables pueden estar vinculadas a largo plazo. Y el propio marco de Johansen las trata naturalmente como integrantes de un sistema dinámico multivariado.
Por ese motivo, el artículo apunta hacia la familia VAR y enfoques relacionados —VAR, VAR estructural, near-VAR y modelos vectoriales de corrección de errores— como candidatos naturales para investigaciones posteriores.
En lugar de convertir una variable en puramente dependiente y las demás en puramente explicativas, un sistema vectorial puede representar la retroalimentación a través del tiempo entre varias variables.
Esto resulta particularmente relevante porque el marco teórico original concierne a un proceso social cuyas variables no tienen por qué ser independientes en ningún sentido contemporáneo sencillo. Dinero, producción, precios, condiciones financieras e instituciones monetarias evolucionan conjuntamente a través del tiempo.
Si las variables están cointegradas, un modelo vectorial de corrección de errores se vuelve especialmente natural porque puede combinar cambios de corto plazo con la relación de largo plazo identificada mediante la cointegración.
Lo que el artículo deja abierto
Estas alternativas se proponen como direcciones futuras y no se estiman como el modelo definitivo que sustituya al actual dentro de este estudio. El artículo deja explícitamente los modelos VAR, SVAR, VEC y otras especificaciones relacionadas para investigaciones posteriores.
Esto importa porque la prudencia intelectual forma parte de una buena construcción de modelos. Descubrir que el modelo actual está incompleto no implica haber descubierto ya cuál debe ser su sucesor.
25. El verdadero protagonista del artículo no es el dinero: es el contraste de hipótesis
A primera vista, un lector podría clasificar razonablemente el estudio como un artículo acerca del dinero, el PIB nominal, el oro y Estados Unidos entre 1990 y 2011. Esas variables proporcionan el material empírico, y el marco económico determina qué pretende significar la regresión.
Pero, estructuralmente, el estudio trata de algo más amplio: cómo se critica un modelo econométrico.
La secuencia importa.
La lógica completa de la investigación
Teoría económica
↓
Especificación inicial de la regresión
↓
Estimación por MCO
↓
Diagnósticos de residuos y estabilidad
↓
Detección de autocorrelación y problemas de especificación
↓
Reespecificación provisional
↓
Nuevos diagnósticos
↓
Análisis de raíces unitarias
↓
Sospecha de regresión espuria
↓
Análisis de cointegración
↓
Rechazo de cointegración cero
↓
Una relación que sobrevive, pero un modelo que todavía debe mejorarse
Visto de esta manera, el contraste de hipótesis no constituye una etapa burocrática final añadida a un modelo que ya se encuentra terminado. Es uno de los mecanismos mediante los cuales evoluciona el propio modelo.
Una hipótesis nula establece un punto de referencia provisional. Los datos se utilizan para confrontar ese punto de referencia. El rechazo —o la ausencia de rechazo— modifica las preguntas que tiene sentido formular a continuación. Se examina entonces otra especificación. Nuevos supuestos se vuelven contrastables. Aparecen nuevas debilidades.
El procedimiento es, por tanto, iterativo y no ceremonial.
El valor de una prueba estadística no reside simplemente en decidir si un valor p cruza el umbral de 0.05, sino en obligar al modelo a revelar aquello que no ha conseguido representar.
Esta es también la razón por la cual diagnósticos aparentemente contradictorios no tienen por qué resultar embarazosos. White puede no detectar heterocedasticidad mientras Breusch–Godfrey detecta autocorrelación. CUSUM puede señalar inestabilidad mientras CUSUM de cuadrados permanece dentro de sus límites. Una modificación puede mejorar un diagnóstico y empeorar otro. La evidencia de raíces unitarias puede amenazar inicialmente una regresión en niveles mientras que la cointegración proporciona posteriormente evidencia de que la relación de largo plazo no es espuria.
Eso no es caos estadístico. Es lo que ocurre cuando distintas pruebas están dirigidas hacia diferentes propiedades de un objeto complicado.
26. Qué deberían extraer los lectores no especializados
Para un lector sin formación econométrica formal, la lección más profunda puede expresarse prácticamente sin matemáticas.
Supongamos que alguien presenta una regresión afirmando que la variable X explica la variable Y. El gráfico parece excelente. El R² es 0.98. Los coeficientes tienen varias estrellas a su lado.
Ninguno de esos hechos carece de significado. Pero ninguno completa el argumento.
Todavía querríamos saber si los errores contienen patrones, si la relación cambia a través del tiempo, si la supuesta línea recta está ocultando curvatura, si las variables simplemente presentan una tendencia conjunta y si la relación aparente sobrevive a métodos diseñados específicamente para series de tiempo no estacionarias.
Este artículo constituye, en efecto, una demostración extensa de ese principio.
AJUSTE¿Sigue la ecuación a los datos?
El R² y los valores ajustados ayudan a responder esta pregunta.
DIAGNÓSTICO¿Se comporta estadísticamente el modelo como se supone?
Las pruebas sobre residuos, heterocedasticidad, autocorrelación, estabilidad y especificación abordan este nivel.
ESTRUCTURA¿Puede confiarse en la propia relación temporal?
El análisis de raíces unitarias y cointegración aborda el problema más profundo de las series de tiempo.
Sólo después de considerar estos tres niveles se vuelve sustancialmente más claro el significado de una regresión impresionante.
27. Qué deberían extraer los economistas y econometristas
Para un lector técnico, el artículo resulta especialmente interesante si se entiende como un ejemplo desarrollado de incertidumbre sobre la especificación.
La progresión desde una ecuación MCO estática hacia cuestiones de estructura de rezagos, correlación serial, varianza condicional, forma funcional, estabilidad estructural, integración y cointegración ilustra un hecho importante acerca del trabajo empírico: la elección del modelo rara vez puede separarse de la crítica del modelo.
El artículo no proporciona la última palabra acerca de ese proceso. De hecho, su propio punto final deja claro que se requiere más trabajo de especificación.
Ese carácter incompleto no es incidental al argumento. Forma parte del argumento.
La conclusión metodológica más fuerte
Una especificación «óptima» no puede identificarse simplemente maximizando el ajuste. El investigador debe examinar progresivamente si los supuestos estadísticos, la estructura temporal, la forma funcional y las relaciones multivariadas implicadas por el modelo son compatibles con los datos observados.
Esto explica también por qué ningún criterio de información individual, estadístico de bondad de ajuste, prueba de residuos o estadístico de cointegración puede sustituir todo el proceso de modelización. Cada uno opera dentro de una pregunta definida. La adecuación del modelo surge de la arquitectura formada por el conjunto de esas preguntas.
28. La lección epistemológica más amplia
Hay una idea más general que recorre, por debajo, toda la econometría.
Un modelo estadístico es una abstracción. Su utilidad depende de aquello que conserva del proceso que representa y de aquello que deja fuera. Por tanto, el residuo no es simplemente basura matemática producida después de la estimación. Es la huella cuantitativa de todo aquello que la ecuación ajustada no logró capturar.
A veces ese remanente se comporta aproximadamente como ruido. A veces recuerda el pasado. A veces su varianza se agrupa. A veces revela una estructura no lineal. A veces toda la relación aparente es generada por tendencias estocásticas comunes. Y a veces variables que vagan individualmente revelan, sin embargo, una conexión estable de largo plazo cuando se estudian conjuntamente.
Las pruebas de hipótesis proporcionan al investigador formas sistemáticas de distinguir entre esas posibilidades.
La mejor pregunta no es «¿Mi regresión se ajusta?», sino «¿Qué evidencia revelaría que la forma matemática que elegí es inadecuada?».
Ese cambio de pregunta modifica el papel de la estadística. En lugar de utilizarse únicamente para confirmar una ecuación, la inferencia estadística se convierte en un método para intentar falsar representaciones inadecuadas y obligar al investigador a avanzar hacia otras mejores.
Por tanto, el modelo resultante puede volverse más complicado a medida que avanza la investigación. Pero esa complejidad no constituye necesariamente un defecto. Si el proceso mismo es dinámico, históricamente dependiente, no lineal y determinado conjuntamente, una ecuación más sencilla solo puede alcanzar elegancia omitiendo parte de aquello que necesita ser explicado.
29. Evaluación final: un ajuste excelente, una relación real, un modelo inacabado
Ahora podemos describir el recorrido del artículo en tres frases.
IUn ajuste excelente
La regresión MCO inicial explica una proporción excepcionalmente grande de la variación observada en la serie monetaria.
IIUna relación de largo plazo estadísticamente defendible
Los resultados de cointegración de Johansen llevan al artículo a rechazar la interpretación de que la relación sea meramente espuria.
IIIUna especificación inacabada
La no linealidad y la estructura dinámica permanecen sin resolver, por lo que la regresión lineal no puede tratarse como el modelo definitivo.
El último punto es crucial porque en el trabajo empírico existe con frecuencia la tentación de buscar una especificación que finalmente produzca estadísticas tranquilizadoras. Esta investigación apunta en otra dirección. Cada resultado aparentemente satisfactorio puede generar otra pregunta legítima.
Un R² alto conduce al análisis de residuos. La dependencia residual conduce a una modificación dinámica. La modificación conduce a otra prueba de especificación. Las variables con tendencia conducen al análisis de raíces unitarias. Las raíces unitarias conducen a la posibilidad de una regresión espuria. Esa posibilidad conduce a la cointegración. La cointegración, finalmente, salva la existencia de una relación de largo plazo sin salvar a la ecuación original de nuevas críticas.
Por tanto, el artículo termina en un lugar intelectualmente más interesante que «el modelo funciona» o «el modelo falla».
La relación sobrevive a la investigación. La especificación no sale intacta de ella.
Y precisamente por eso importa el contraste de hipótesis.
Su función más profunda no consiste en decorar una tabla de regresión con asteriscos. Consiste en organizar la duda: convertir las sospechas acerca de un modelo en preguntas que puedan confrontarse con los datos, revelar qué supuestos siguen siendo defendibles e indicar dónde debe comenzar la siguiente ronda de modelización.
En el estudio examinado aquí, ese proceso comienza con tres variables —dinero, PIB nominal y oro— y termina con una lección mucho más amplia. La buena econometría no es el arte de encontrar una ecuación que parezca convincente. Es la disciplina de descubrir hasta qué punto puede confiarse en una ecuación antes de que la evidencia nos obligue a construir una mejor.
· · ·
En un párrafo
La investigación de Gómez Julián comienza con un modelo MCO de la cantidad de dinero de Estados Unidos como función del PIB nominal y del precio internacional del oro para 1990–2011. A pesar de un R² excepcionalmente alto y de coeficientes altamente significativos, las pruebas diagnósticas revelan problemas en los residuos y en la especificación que motivan una investigación adicional. Ramsey RESET plantea dudas sobre la linealidad; las pruebas de autocorrelación y estabilidad revelan complicaciones temporales; el análisis de raíces unitarias plantea el peligro de una regresión espuria; y los resultados en primeras diferencias no proporcionan una resolución completamente sencilla. El análisis pasa entonces a la cointegración. Después de una etapa intermedia inconclusa, las pruebas de Johansen rechazan la ausencia de cointegración bajo las especificaciones examinadas, llevando al artículo a concluir que la regresión no es espuria. Sin embargo, la misma investigación también concluye que el modelo sigue siendo estadísticamente mejorable, particularmente en su especificación, y apunta hacia enfoques dinámicos más ricos, como los modelos VAR, SVAR y VEC. La lección metodológica es, por tanto, más amplia que la aplicación monetaria: el contraste de hipótesis resulta más útil cuando se lo concibe como un instrumento iterativo para criticar, revisar y mejorar progresivamente un modelo estadístico, en lugar de como un ritual final destinado a colocar estrellas de significancia junto a los coeficientes.
· · ·
20. Después de todas esas pruebas, ¿qué ha sobrevivido realmente?
Ahora podemos volver a la engañosamente sencilla regresión con la que comenzó la investigación. La cantidad de dinero en circulación se modeló como una función del PIB nominal y del precio internacional del oro. Los mínimos cuadrados ordinarios produjeron un R² extraordinariamente alto, coeficientes altamente significativos y valores ajustados que, visualmente, seguían muy de cerca la serie monetaria observada.
Si la investigación se hubiera detenido allí, la conclusión habría sido sencilla: el modelo se ajusta notablemente bien.
Pero no se detuvo allí.
Los diagnósticos de los residuos plantearon interrogantes sobre la dependencia serial. Las pruebas RESET mostraron que la información no lineal podía ser relevante. CUSUM y CUSUM de cuadrados no contaron exactamente la misma historia sobre la estabilidad de los parámetros. Una modificación que involucraba el término relacionado con el PIB cambió algunos resultados diagnósticos al tiempo que generó nuevas preguntas. Las pruebas de raíz unitaria revelaron entonces un peligro más profundo: las propias variables contenían suficiente comportamiento no estacionario como para que una regresión convencional en niveles pudiera resultar engañosa.
Finalmente, el análisis de cointegración proporcionó al artículo una salida al problema de la regresión espuria. Las pruebas de Johansen rechazaron la hipótesis de cero relaciones de cointegración bajo las especificaciones determinísticas examinadas. Por tanto, el autor concluye que la regresión no es simplemente el producto artificial de series temporales no relacionadas que presentan tendencias.
El resultado en una frase
El artículo encuentra evidencia de que las variables comparten una relación estadística genuina de largo plazo, al mismo tiempo que encuentra que la regresión lineal particular utilizada para representar esa relación todavía no constituye un modelo especificado de manera óptima.
Esta combinación no es una contradicción. Podría decirse que es la lección sustantiva más importante de todo el ejercicio.
21. Una relación puede sobrevivir incluso cuando un modelo no lo hace
Resulta útil separar tres proposiciones que fácilmente pueden confundirse en una sola.
01Las variables están asociadas
Las regresiones estimadas muestran un movimiento conjunto estadístico muy fuerte entre el dinero, el PIB nominal y el oro.
02La asociación no es meramente espuria
Los resultados de Johansen se interpretan como evidencia de cointegración y, por tanto, como evidencia contra la hipótesis de que la relación en niveles sea simplemente una regresión sin sentido entre tendencias no relacionadas.
03La ecuación lineal es óptima
Esta proposición no sobrevive. Los diagnósticos de especificación dejan razones sustanciales para buscar una representación matemática mejor.
Esta distinción es fundamental en econometría aplicada. La crítica empírica de una ecuación particular no necesariamente refuta la relación subyacente que la motivó. A la inversa, la evidencia de que existe una relación no vuelve inmune a la ecuación elegida para describirla.
Una especificación fallida no implica automáticamente una teoría fallida; y un buen ajuste no implica automáticamente una especificación exitosa.
Por eso es tan importante el énfasis metodológico del artículo en el contraste de hipótesis. Las pruebas separan progresivamente preguntas que el resultado de una sola regresión tiende a mezclar.
22. Lo que el estudio no establece
La manera más segura de comprender la contribución consiste también en precisar sus límites.
En primer lugar, el artículo no descubre una ecuación dinámica final y unívocamente correcta para el proceso monetario de Estados Unidos. La variable adicional relacionada con el PIB se presenta explícitamente como una modificación motivada empíricamente y no como la consecuencia de una derivación teórica completada. El autor reconoce además que el análisis no determina exhaustivamente mediante simulación la estructura óptima de rezagos ni compara sistemáticamente todas las alternativas dinámicas posibles.
En segundo lugar, la existencia de cointegración no resuelve por sí sola todas las cuestiones económicas sustantivas. Indica que las variables poseen una estructura estadística de largo plazo que restringe su evolución conjunta. El significado económico y la dirección asignados a esa estructura provienen del marco teórico dentro del cual se construyó la regresión.
El propio artículo establece precisamente esta distinción metodológica más general anteriormente en el análisis: los modelos de regresión representan relaciones entre variables, mientras que el significado y la dirección de esas relaciones deben interpretarse mediante el marco teórico pertinente.
La cointegración es importante, pero no lo es todo
Rechazar la hipótesis de cero relaciones de cointegración ayuda a responder la pregunta estadística específica de si el aparente movimiento conjunto de largo plazo puede descartarse como una regresión espuria. No identifica automáticamente la mejor forma funcional, la estructura dinámica completa ni todos los mecanismos causales que operan entre las variables.
En tercer lugar, la muestra empírica es pequeña. El período principal contiene solamente veintidós observaciones anuales, de 1990 a 2011. Esto importa particularmente una vez que entran en el análisis regresores adicionales, estructuras de rezagos, términos no lineales y procedimientos multivariados de series temporales. Cada parámetro adicional consume información escasa.
Por tanto, el estudio debe entenderse como una investigación econométrica de la especificación y el diagnóstico, no como el modelo definitivo posible de la estructura monetaria de Estados Unidos.
23. Por qué 2009–2011 resultó ser importante
Uno de los ejercicios empíricos más interesantes del artículo es la comparación entre especificaciones que contienen los primeros años posteriores a la crisis de 2008 y versiones que terminan en 2008.
Una expectativa ingenua podría ser que añadir tres años extraordinariamente turbulentos simplemente empeoraría la regresión. Pero los diagnósticos no arrojan un resultado tan sencillo.
Por ejemplo, el artículo reporta un estadístico Durbin–Watson de aproximadamente 0.91 para 1990–2011, frente a aproximadamente 0.51 para 1990–2008. Ninguno de los dos valores resulta particularmente tranquilizador considerado aisladamente, pero la muestra más larga se acerca más al valor de referencia convencional próximo a dos.
La comparación mediante CUSUM también es notable. El artículo identifica cinco observaciones asociadas con inestabilidad en la versión de 1990–2011, frente a diez en el ejercicio más corto de 1990–2008, mientras que CUSUM de cuadrados indica estabilidad en ambos casos.
Y después de la modificación provisional relacionada con el PIB, el período más largo vuelve a ofrecer un mejor desempeño en algunos diagnósticos de autocorrelación: el artículo reporta la desaparición de la autocorrelación de órdenes superiores antes en la muestra de 1990–2011 que en la muestra acortada.
Una lección empírica útil
Añadir observaciones correspondientes a una crisis no «contamina» mecánicamente un modelo econométrico. En ocasiones son precisamente esas observaciones las que revelan con mayor claridad la estructura del proceso, o modifican los diagnósticos de maneras que obligan al investigador a reconsiderar qué parecían estar diciendo los años aparentemente tranquilos.
Esto refuerza la orientación histórica del artículo. Una crisis no es simplemente un valor atípico incómodo situado fuera del sistema. Para un análisis económico, las observaciones correspondientes a una crisis pueden formar parte del propio fenómeno que se intenta comprender.
24. Por qué el siguiente paso natural es un sistema y no otra ecuación aislada
Al final de la investigación, varias pistas apuntan en la misma dirección.
Las variables poseen una persistencia temporal considerable. La autocorrelación residual aparece en especificaciones importantes. La no linealidad continúa siendo una preocupación. Se plantea la posibilidad de interacción endógena. La cointegración indica que las variables pueden estar vinculadas entre sí a largo plazo. Y el propio marco de Johansen las trata de manera natural como miembros de un sistema dinámico multivariado.
Por esta razón, el artículo señala a la familia VAR y a enfoques relacionados —VAR, VAR estructural, near-VAR y modelos vectoriales de corrección del error— como candidatos naturales para investigaciones posteriores.
En lugar de convertir una variable en puramente dependiente y las demás en puramente explicativas, un sistema vectorial puede representar la retroalimentación a lo largo del tiempo entre varias variables.
Esto resulta particularmente relevante porque el marco teórico original se refiere a un proceso social cuyas variables no tienen por qué ser independientes en ningún sentido contemporáneo sencillo. El dinero, la producción, los precios, las condiciones financieras y las instituciones monetarias evolucionan conjuntamente a través del tiempo.
Si las variables están cointegradas, un modelo vectorial de corrección del error resulta especialmente natural porque puede combinar los cambios de corto plazo con la relación de largo plazo identificada mediante la cointegración.
Lo que el artículo deja abierto
Estas alternativas se proponen como líneas de investigación futura y no se estiman como el modelo de reemplazo definitivo en el estudio actual. El artículo deja explícitamente los modelos VAR, SVAR, VEC y otras especificaciones relacionadas para investigaciones posteriores.
Esto importa porque la prudencia intelectual forma parte de una buena construcción de modelos. Descubrir que el modelo actual está incompleto no implica que ya se haya descubierto su sucesor.
25. El verdadero protagonista del artículo no es el dinero: es el contraste de hipótesis
A primera vista, un lector podría clasificar razonablemente el estudio como un artículo sobre el dinero, el PIB nominal, el oro y Estados Unidos entre 1990 y 2011. Esas variables proporcionan el material empírico, y el marco económico determina lo que se pretende que signifique la regresión.
Pero, estructuralmente, el estudio trata sobre algo más amplio: cómo se critica un modelo econométrico.
La secuencia importa.
La lógica completa de la investigación
Teoría económica
↓
Especificación inicial de la regresión
↓
Estimación mediante MCO
↓
Diagnósticos de residuos y estabilidad
↓
Detección de problemas de autocorrelación y especificación
↓
Reespecificación provisional
↓
Nuevos diagnósticos
↓
Análisis de raíces unitarias
↓
Sospecha de regresión espuria
↓
Análisis de cointegración
↓
Rechazo de cero cointegración
↓
Una relación que sobrevive, pero un modelo todavía pendiente de mejora
Vista de esta manera, la prueba de hipótesis no es una etapa burocrática final añadida a un modelo que, por lo demás, ya estaría terminado. Es uno de los mecanismos mediante los cuales el modelo evoluciona.
Una hipótesis nula establece un punto de referencia provisional. Los datos se utilizan para confrontar ese punto de referencia. El rechazo —o la falta de rechazo— modifica cuáles son las preguntas razonables que deben formularse a continuación. Se examina entonces otra especificación. Nuevos supuestos se vuelven contrastables. Aparecen nuevas debilidades.
El procedimiento es, por tanto, iterativo y no ceremonial.
El valor de una prueba estadística no reside simplemente en decidir si un valor p cruza 0.05, sino en obligar al modelo a revelar aquello que no ha logrado representar.
Por eso tampoco resulta embarazoso que algunos diagnósticos parezcan contradictorios. White puede no detectar heterocedasticidad mientras Breusch–Godfrey detecta autocorrelación. CUSUM puede señalar inestabilidad mientras CUSUM de cuadrados permanece dentro de sus límites. Una modificación puede mejorar un diagnóstico y empeorar otro. La evidencia de raíces unitarias puede amenazar inicialmente una regresión en niveles, mientras que posteriormente la cointegración proporciona evidencia de que la relación de largo plazo no es espuria.
Eso no es caos estadístico. Es lo que ocurre cuando diferentes pruebas están dirigidas a diferentes propiedades de un objeto complicado.
26. Lo que deberían llevarse los lectores no especialistas
Para un lector sin formación econométrica formal, la lección más profunda puede expresarse casi sin matemáticas.
Supongamos que alguien presenta una regresión afirmando que la variable X explica la variable Y. El gráfico luce excelente. El R² es 0.98. Los coeficientes tienen varias estrellas a su lado.
Ninguno de esos hechos carece de significado. Pero ninguno completa el argumento.
Aún querríamos saber si los errores contienen patrones, si la relación cambia con el tiempo, si la línea recta supuesta está ocultando curvatura, si las variables simplemente presentan tendencias conjuntas y si la relación aparente sobrevive a métodos diseñados específicamente para series temporales no estacionarias.
Este artículo es, en efecto, una demostración extensa de ese principio.
AJUSTE¿La ecuación sigue los datos?
El R² y los valores ajustados ayudan a responder esta pregunta.
DIAGNÓSTICO¿El modelo se comporta estadísticamente como se supone?
Las pruebas de residuos, heterocedasticidad, autocorrelación, estabilidad y especificación abordan este nivel.
ESTRUCTURA¿Puede confiarse en la propia relación temporal?
Los análisis de raíces unitarias y cointegración abordan el problema más profundo de las series temporales.
Solo después de considerar los tres niveles se vuelve sustancialmente más claro el significado de una regresión impresionante.
27. Lo que deberían llevarse los economistas y econometristas
Para un lector técnico, el artículo resulta más interesante cuando se entiende como un ejemplo desarrollado de incertidumbre sobre la especificación.
La progresión desde una ecuación MCO estática hacia preguntas sobre la estructura de rezagos, correlación serial, varianza condicional, forma funcional, estabilidad estructural, integración y cointegración ilustra un hecho importante del trabajo empírico: la elección del modelo rara vez puede separarse de la crítica del modelo.
El artículo no ofrece la última palabra sobre ese proceso. De hecho, su propio punto de llegada deja claro que se requiere más trabajo de especificación.
Ese carácter incompleto no es accidental en el argumento. Forma parte del argumento.
La conclusión metodológica más fuerte
Una especificación «óptima» no puede identificarse simplemente maximizando el ajuste. El investigador debe examinar progresivamente si los supuestos estadísticos, la estructura temporal, la forma funcional y las relaciones multivariadas que implica el modelo son compatibles con los datos observados.
Esto también explica por qué ningún criterio de información, estadístico de bondad de ajuste, prueba de residuos o estadístico de cointegración aislado puede sustituir todo el proceso de modelización. Cada uno opera dentro de una pregunta definida. La adecuación del modelo surge de la arquitectura formada por el conjunto de esas preguntas.
28. La lección epistemológica más amplia
Debajo de la econometría discurre una idea más general.
Un modelo estadístico es una abstracción. Su utilidad depende de qué conserva del proceso que representa y qué deja fuera. Por tanto, el residuo no es simplemente basura matemática producida después de la estimación. Es la huella cuantitativa de todo aquello que la ecuación ajustada no logró capturar.
A veces ese remanente se comporta aproximadamente como ruido. A veces recuerda lo ocurrido ayer. A veces su varianza se agrupa. A veces revela una estructura no lineal. A veces toda la relación aparente es generada por tendencias estocásticas comunes. Y a veces variables que vagan individualmente revelan, sin embargo, una conexión estable de largo plazo cuando se estudian conjuntamente.
Las pruebas de hipótesis proporcionan al investigador formas sistemáticas de distinguir entre esas posibilidades.
La mejor pregunta no es «¿Mi regresión se ajusta?», sino «¿Qué evidencia revelaría que la forma matemática que elegí es inadecuada?».
Ese cambio de pregunta modifica el papel de la estadística. En lugar de utilizarse únicamente para confirmar una ecuación, la inferencia estadística se convierte en un método para intentar falsar representaciones inadecuadas y obligar al investigador a avanzar hacia otras mejores.
Por tanto, el modelo resultante puede volverse más complicado a medida que avanza la investigación. Pero esa complejidad no constituye necesariamente un defecto. Si el proceso mismo es dinámico, históricamente dependiente, no lineal y determinado conjuntamente, una ecuación más sencilla solo puede alcanzar elegancia omitiendo parte de aquello que necesita ser explicado.
29. Evaluación final: un ajuste excelente, una relación real, un modelo inacabado
Ahora podemos describir el recorrido del artículo en tres frases.
IUn ajuste excelente
La regresión MCO inicial explica una proporción excepcionalmente grande de la variación observada en la serie monetaria.
IIUna relación de largo plazo estadísticamente defendible
Los resultados de cointegración de Johansen llevan al artículo a rechazar la interpretación de que la relación sea meramente espuria.
IIIUna especificación inacabada
La no linealidad y la estructura dinámica permanecen sin resolver, por lo que la regresión lineal no puede tratarse como el modelo definitivo.
El último punto es crucial porque en el trabajo empírico existe con frecuencia la tentación de buscar una especificación que finalmente produzca estadísticas tranquilizadoras. Esta investigación apunta en otra dirección. Cada resultado aparentemente satisfactorio puede generar otra pregunta legítima.
Un R² alto conduce al análisis de residuos. La dependencia residual conduce a una modificación dinámica. La modificación conduce a otra prueba de especificación. Las variables con tendencia conducen al análisis de raíces unitarias. Las raíces unitarias conducen a la posibilidad de una regresión espuria. Esa posibilidad conduce a la cointegración. La cointegración, finalmente, salva la existencia de una relación de largo plazo sin salvar a la ecuación original de nuevas críticas.
Por tanto, el artículo termina en un lugar intelectualmente más interesante que «el modelo funciona» o «el modelo falla».
La relación sobrevive a la investigación. La especificación no sale intacta de ella.
Y precisamente por eso importa el contraste de hipótesis.
Su función más profunda no consiste en decorar una tabla de regresión con asteriscos. Consiste en organizar la duda: convertir las sospechas acerca de un modelo en preguntas que puedan confrontarse con los datos, revelar qué supuestos siguen siendo defendibles e indicar dónde debe comenzar la siguiente ronda de modelización.
En el estudio examinado aquí, ese proceso comienza con tres variables —dinero, PIB nominal y oro— y termina con una lección mucho más amplia. La buena econometría no es el arte de encontrar una ecuación que parezca convincente. Es la disciplina de descubrir hasta qué punto puede confiarse en una ecuación antes de que la evidencia nos obligue a construir una mejor.
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En un párrafo
La investigación de Gómez Julián comienza con un modelo MCO de la cantidad de dinero de Estados Unidos como función del PIB nominal y del precio internacional del oro para 1990–2011. A pesar de un R² excepcionalmente alto y de coeficientes altamente significativos, las pruebas diagnósticas revelan problemas en los residuos y en la especificación que motivan una investigación adicional. Ramsey RESET plantea dudas sobre la linealidad; las pruebas de autocorrelación y estabilidad revelan complicaciones temporales; el análisis de raíces unitarias plantea el peligro de una regresión espuria; y los resultados en primeras diferencias no proporcionan una resolución completamente sencilla. El análisis pasa entonces a la cointegración. Después de una etapa intermedia inconclusa, las pruebas de Johansen rechazan la ausencia de cointegración bajo las especificaciones examinadas, llevando al artículo a concluir que la regresión no es espuria. Sin embargo, la misma investigación también concluye que el modelo sigue siendo estadísticamente mejorable, particularmente en su especificación, y apunta hacia enfoques dinámicos más ricos, como los modelos VAR, SVAR y VEC. La lección metodológica es, por tanto, más amplia que la aplicación monetaria: el contraste de hipótesis resulta más útil cuando se lo concibe como un instrumento iterativo para criticar, revisar y mejorar progresivamente un modelo estadístico, en lugar de como un ritual final destinado a colocar estrellas de significancia junto a los coeficientes.
Probabilidad · Datos de Conteo · Modelos Jerárquicos
Cuando los conteos se niegan a comportarse: comprendiendo la Distribución Binomial Negativa II como instrumento de medición
Una lectura guiada de Algunas reflexiones sobre la distribución binomial negativa II como instrumento de medición, de José Mauricio Gómez Julián: desde la serie geométrica y las mixturas de probabilidad hasta la sobredispersión, la heterogeneidad latente y la simulación en R.
Mauricio Gómez Julián · Probabilidad Teórica y Aplicada · Lectura aproximada de 15 minutos
Nota de lectura. Este ensayo explica el trabajo en sus propios términos procurando, al mismo tiempo, mantener la precisión matemática. Cuando resulta necesaria alguna puntualización técnica —especialmente en el paso de una distribución exponencial de mezcla a la Distribución Binomial Negativa II general— se indica explícitamente en lugar de modificar silenciosamente el argumento del artículo.
La pregunta que organiza el trabajo
Los datos de conteo aparecen en todas partes. Un economista cuenta quiebras empresariales, huelgas, impagos, patentes, accidentes o entradas a un mercado. Un politólogo cuenta protestas, cambios de gabinete, episodios de violencia, vetos legislativos o disputas internacionales. Un biólogo cuenta organismos supervivientes, mutaciones, infecciones o descendientes. El modelo elemental para muchos de estos problemas es la distribución de Poisson. Pero los conteos reales suelen fluctuar más de lo que permite un modelo de Poisson. Su varianza es mayor que su media: los datos presentan sobredispersión.
La Distribución Binomial Negativa II —habitualmente abreviada como NB2— constituye uno de los principales instrumentos estadísticos para estudiar precisamente este tipo de situaciones. Pero el trabajo de Gómez Julián no se conforma con presentar la función de masa de probabilidad de la NB2, enumerar sus momentos y seguir adelante. La pregunta que lo organiza es más amplia: ¿qué clase de objeto es una distribución de probabilidad, de dónde proviene, qué otras distribuciones contiene o presupone y qué ganamos al comprender su proceso de construcción en lugar de limitarnos a observar su fórmula terminada?
El trabajo posee, por ello, dos ejes explícitos. El primero —y al que se concede mayor importancia— estudia la NB2 como resultado de una estructura teórica más amplia constituida por modelos jerárquicos y mixturas de probabilidad. El segundo estudia la NB2 como distribución individual: su forma, interpretación, momentos y utilización práctica, incluyendo cálculos manuales y aplicaciones en R. La unidad buscada entre ambos ejes es filosófica además de matemática: las distribuciones de probabilidad se conciben como instrumentos para medir fenómenos naturales y sociales bajo condiciones de incertidumbre, y el trabajo sostiene que su historia, estructura formal, interpretación científica y aplicación no deberían separarse artificialmente.
Una distribución resulta más fácil de comprender cuando observamos no sólo la fórmula terminada, sino también el proceso que la produce.
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¿Por qué comenzar con la serie geométrica?
El trabajo comienza sorprendentemente lejos de la regresión para datos de conteo: con la serie geométrica, sus raíces históricas y su relación con el teorema binomial. Esto es deliberado. Gómez Julián quiere que el lector contemple la Distribución Binomial Negativa II como parte de una genealogía matemática, en lugar de verla como una fórmula que simplemente apareció ya terminada.
El recorrido puede resumirse aproximadamente así: la serie geométrica proporciona una expansión infinita sencilla; su diferenciación revela un patrón combinatorio recurrente; ese patrón permite motivar la expansión binomial; y la introducción de un exponente negativo conduce a la serie binomial negativa. El interés no es únicamente algebraico. El trabajo hace énfasis repetidamente en el tránsito desde estructuras relativamente simples hacia otras más generales y en las relaciones mediante las cuales una familia de objetos matemáticos conduce a otra.
1 + x + x2 + x3 + ··· = 1 / (1 − x), |x| < 1
↓
expansión binomial
↓
serie binomial negativa
La genealogía algebraica del trabajo, en forma comprimida
Para el lector no técnico, la idea importante es sencilla: una distribución de probabilidad puede comprenderse a través de las transformaciones y relaciones que la generan. El trabajo refuerza posteriormente esta idea mediante un gran diagrama de redes de distribuciones de probabilidad, reproducido a partir de ProbOnto, donde las distintas distribuciones aparecen conectadas mediante transformaciones, relaciones límite y casos particulares. La NB2 se presenta así como un nodo dentro de una densa ecología matemática y no como una técnica aislada.
La probabilidad como problema de medición
Antes de construir la NB2, el trabajo se detiene a preguntar qué significa «probabilidad». No se trata de una digresión filosófica ornamental. La posición de Gómez Julián es que el cálculo formal de probabilidades y su interpretación filosófica no pueden divorciarse completamente, porque las conclusiones estadísticas dependen de qué creemos que están midiendo las probabilidades y de cómo se conceptualiza científicamente el fenómeno estudiado.
El trabajo adopta una orientación explícitamente objetiva y dialéctico-materialista. El azar es tratado principalmente como una condición epistemológica: los acontecimientos aparecen como aleatorios porque sus causas son desconocidas, demasiado numerosas o demasiado complejas para poder representarlas de manera completa. Al mismo tiempo, los axiomas de Kolmogórov proporcionan la estructura matemática formal que hace coherente el cálculo de probabilidades. El trabajo recurre asimismo al bayesianismo objetivo para sostener que los grados de creencia deberían estar restringidos por la evidencia, la teoría científica y el cálculo de probabilidades, en lugar de reducirse a opiniones personales arbitrarias.
Por qué esto importa estadísticamente
Un modelo no se escoge únicamente porque su fórmula resulte conveniente. La descripción científica del proceso determina cuáles variables aleatorias, relaciones condicionales, cantidades latentes y parametrizaciones poseen significado. Este principio se vuelve concreto cuando el trabajo introduce los modelos jerárquicos.
Una familia, no una fórmula aislada
El trabajo introduce a continuación las distribuciones necesarias para su construcción: Bernoulli, Binomial, Poisson y Exponencial. Cada una desempeña un papel diferente.
Distribución
Función intuitiva
Papel dentro del trabajo
Bernoulli
Un ensayo con dos resultados posibles.
La unidad elemental a partir de la cual se construyen experimentos repetidos de éxito y fracaso.
Binomial
Cuenta éxitos en un número fijo de ensayos de Bernoulli.
Constituye el primer nivel de la construcción jerárquica.
Poisson
Cuenta ocurrencias cuando los eventos aparecen con determinada tasa media.
Permite que el número de oportunidades o acontecimientos sea él mismo aleatorio.
Exponencial
Modela tiempos de espera o variación continua positiva asociada a un proceso de Poisson.
Introduce variabilidad en la tasa de Poisson entre distintas unidades observacionales.
Esta sucesión contiene ya la intuición metodológica del artículo. Un fenómeno complejo puede descomponerse en etapas probabilísticas relativamente simples, cada una de las cuales corresponde a un aspecto diferente de la historia científica que se intenta representar. En lugar de obligar a que toda la incertidumbre quede contenida en una sola fórmula plana, un modelo jerárquico permite que la incertidumbre ingrese en diferentes niveles.
Jerarquías, mixturas y variables latentes
Un modelo jerárquico especifica variables y parámetros mediante diferentes etapas. Una mixtura de probabilidad aparece cuando un parámetro de una distribución de probabilidad es tratado a su vez como una cantidad aleatoria gobernada por otra distribución. El parámetro que parecía fijo en el nivel inferior se convierte en variable en un nivel superior.
Éste es el movimiento conceptual decisivo del trabajo. También explica por qué Gómez Julián introduce el lenguaje de las variables latentes: algunas de las fuerzas responsables de producir la variabilidad observada pueden no observarse directamente, pero sus consecuencias todavía pueden representarse probabilísticamente. En investigación aplicada esta idea resulta familiar. Dos fábricas, municipios, empresas, hospitales o individuos pueden enfrentar tasas subyacentes de ocurrencia distintas, aunque inicialmente escribamos para todos ellos una misma ecuación de Poisson.
El artículo conecta esta construcción matemática con la distinción hegeliana entre Ser en sí y Ser para sí. Si eliminamos momentáneamente el vocabulario filosófico, su significado estadístico resulta bastante intuitivo. Estudiar la NB2 «en sí» significa estudiar el proceso más amplio y la red de relaciones de la cual emerge. Estudiar la NB2 «para sí» significa tomar la distribución ya marginalizada como objeto específico y analizar su propia fórmula, parámetros, momentos y aplicaciones.
La primera mixtura: una Binomial dentro de una Poisson
La primera gran construcción emplea un ejemplo biológico. Imaginemos un insecto que deposita una gran cantidad de huevos. Condicionado a que una madre haya puesto Y huevos, cada huevo sobrevive independientemente con probabilidad p. El número de huevos supervivientes, X, sigue entonces una distribución Binomial. Pero en lugar de fijar el número de huevos Y, el trabajo permite que éste varíe conforme a una distribución de Poisson con media λ.
X | Y ~ Binomial(Y, p)
Y ~ Poisson(λ)
Primer modelo jerárquico
Marginalizar significa preguntarnos cuál es la distribución de X después de eliminar mediante suma la variable intermedia Y. Algebraicamente, combinamos todos los valores posibles de Y, ponderándolos por la probabilidad correspondiente a cada uno. El resultado es elegante:
X ~ Poisson(λp)
Después de marginalizar Y
En el lenguaje moderno de la probabilidad, estamos ante una variante del proceso conocido como Poisson thinning o adelgazamiento de Poisson. Si el número total de oportunidades sigue una distribución de Poisson y cada una sobrevive independientemente con probabilidad p, entonces el número de supervivientes también sigue una distribución de Poisson, pero su media se reduce de λ a λp. El trabajo llega asimismo a la misma conclusión utilizando esperanzas iteradas:
E[X] = E{E[X | Y]} = E[pY] = pλ
Para el artículo, esto representa algo más que un truco computacional. Muestra cómo un proceso jerárquico que aparentemente contiene dos capas aleatorias puede «comprimirse» en una ley marginal más sencilla sin borrar la interpretación científica que originalmente motivó la jerarquía.
Cuando la tasa de Poisson también varía
El paso siguiente introduce un nivel adicional de heterogeneidad. Supongamos ahora que existen muchas madres insecto y que la media de Poisson no es idéntica para cada una de ellas. El trabajo trata entonces la propia tasa como una variable aleatoria:
X | Y ~ Binomial(Y, p)
Y | Λ ~ Poisson(Λ)
Λ ~ Exponencial(β)
Jerarquía de tres etapas planteada en el trabajo
La intuición estadística es importante. La variación no se encuentra únicamente en el conteo observado; también puede existir en la tasa subyacente que genera ese conteo. Cuando la tasa difiere entre unidades observacionales, la distribución final puede encontrarse mucho más dispersa que la producida por un modelo de Poisson con una única tasa. Es precisamente este tipo de heterogeneidad latente lo que vuelve tan útil a la familia binomial negativa en Economía, Epidemiología, Demografía, Ciencia Política y muchos otros ámbitos donde se analizan datos de conteo.
El trabajo muestra que la media de toda la jerarquía puede calcularse condicionando y promediando sucesivamente, hasta obtener E[X] = pβ bajo su parametrización. Posteriormente integra la tasa aleatoria de Poisson y vincula la expresión resultante con la forma binomial negativa.
Precisión técnica añadida
Conviene introducir aquí una distinción importante. Una distribución Exponencial es una distribución Gamma cuyo parámetro de forma es igual a 1. Por ello, una mixtura Poisson–Exponencial produce la distribución geométrica, que constituye el caso particular de la binomial negativa con r = 1. La NB2 general, con un parámetro de dispersión r arbitrario, surge de una mixtura Poisson–Gamma. Por tanto, la intuición central del trabajo —que la heterogeneidad aleatoria en la tasa de Poisson genera sobredispersión de tipo binomial negativo— se conserva, pero la NB2 completamente general requiere la familia Gamma como distribución de mezcla, y no únicamente la distribución Exponencial.
Esta precisión refuerza, de hecho, el mensaje más general del trabajo. La distribución geométrica, la distribución exponencial, la familia Gamma, los procesos de Poisson y la distribución binomial negativa no son objetos matemáticos inconexos. Forman parte de una red de casos especiales y relaciones de mixtura. La distribución Gamma más general conserva la misma lógica jerárquica, pero permite extender el modelo más allá del caso r = 1.
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La NB2 «para sí»: qué nos dice la distribución ya terminada
Una vez «comprimida» la jerarquía, el trabajo pasa a estudiar la Distribución Binomial Negativa II como objeto por derecho propio. Una de sus parametrizaciones habituales expresa la probabilidad de observar x fracasos antes de alcanzar el r-ésimo éxito de la siguiente manera:
Aquí, p representa la probabilidad de éxito y r el número de éxitos que se pretende alcanzar. La distribución responde a una pregunta inversa a la que suele formular la Binomial ordinaria. La Binomial pregunta: ¿cuántos éxitos se producen dentro de un número fijo de ensayos? La binomial negativa pregunta: ¿cuántos fracasos se producen antes de alcanzar un número fijo de éxitos?
La propiedad estadística más importante destacada por el trabajo aparece en sus dos primeros momentos. Si q = 1 − p:
μ = E[X] = rq / p
Var(X) = rq / p2
= μ + μ2/r
Esta última igualdad constituye el puente hacia la econometría moderna para datos de conteo. La distribución de Poisson impone Var(X) = μ. La NB2 permite:
Var(X) = μ + αμ2, donde α = 1/r
Dicho de otra manera, la varianza puede crecer más rápidamente que la media. Cuanto menor sea r —o, de manera equivalente, cuanto mayor sea el parámetro de heterogeneidad α— mayor dispersión permite el modelo. Cuando la heterogeneidad desaparece, la NB2 se aproxima al punto de referencia constituido por Poisson. Ésta es la razón por la cual el trabajo presenta la NB2 como un instrumento más flexible para datos de conteo cuando la igualdad entre media y varianza impuesta por Poisson resulta demasiado restrictiva.
Característica
Poisson
Binomial Negativa II
Media
μ
μ
Varianza
μ
μ + αμ²
Heterogeneidad adicional
No se modela separadamente
Se recoge mediante α (o r)
Uso característico
Conteos equidispersos
Conteos sobredispersos
Para un econometrista, esta función de varianza constituye posiblemente el camino más rápido para comprender la NB2. Para un lector más general basta una traducción intuitiva: la NB2 espera que el mundo sea más desigual que un proceso simple de Poisson. Algunas unidades poseen tasas de ocurrencia persistentemente mayores que otras; existen condiciones no observadas que varían; aparecen agrupamientos; y una misma media puede coexistir con una dispersión considerablemente mayor.
El ejemplo del mantenimiento: contar fracasos antes de la cuarta alarma
El trabajo proporciona una interpretación industrial concreta. Imaginemos un capital fijo —una máquina— que produce piezas. Cada pieza puede ser óptima o defectuosa. Un sistema de monitoreo trata la producción de una pieza defectuosa como el evento de interés porque sirve como señal de la necesidad de mantenimiento. Supongamos ensayos de Bernoulli independientes y una probabilidad constante de defecto.
Gómez Julián establece r = 4, p = 0.005 y pregunta cuál es la probabilidad de observar exactamente x = 100 fracasos antes del cuarto éxito, utilizando la función de masa de la binomial negativa. La sustitución produce:
P(X = 100 | r = 4, p = 0.005)
≈ 0.000067
El número es extremadamente pequeño: aproximadamente 6,7 posibilidades entre 100.000. La interpretación estadística no consiste en que primero «ocurren 100 fracasos y después cuatro éxitos» como si se tratara de dos bloques separados. Lo que significa es que, dentro de una sucesión continua de ensayos independientes, se producen exactamente 100 no-eventos antes de que aparezca el cuarto evento de interés.
El trabajo comprueba el resultado manualmente, con una calculadora Texas Instruments y mediante R. Posteriormente representa gráficamente la distribución correspondiente, mostrando cómo una probabilidad de éxito muy pequeña desplaza una cantidad considerable de masa de probabilidad hacia conteos relativamente elevados antes de acumular el número requerido de éxitos.
Qué intenta mostrar la simulación en R
La última parte aplicada del cuerpo principal del trabajo abandona momentáneamente la evaluación de una probabilidad concreta y pasa a la generación de datos pseudoaleatorios. El artículo construye un experimento personalizado basado en una baraja: extraer repetidamente una carta de una baraja de 52 cartas hasta que aparezca determinado rango, registrar cuántas extracciones fueron necesarias y repetir el experimento muchas veces. A continuación compara el histograma producido mediante ese procedimiento de conteo «desde primeros principios» con un histograma generado mediante la función incorporada rnbinom de R.
Las figuras correspondientes a 50, 100, 150 y 200 repeticiones muestran el mismo patrón cualitativo: una distribución de conteos marcadamente asimétrica hacia la derecha, con numerosos valores pequeños y una larga cola. El propósito pedagógico es claro. El software no es magia. Un generador aleatorio incorporado está implementando una estructura probabilística que también puede aproximarse mediante una sucesión explícita de ensayos elementales.
Una convención de R que conviene tener presente
La función rnbinom de R utiliza la convención de contar el número de fracasos anteriores a un número especificado de éxitos. Una rutina construida manualmente que cuente el número total de extracciones, incluyendo la extracción exitosa, difiere en una unidad cuando size = 1. Para realizar una comparación exactamente uno a uno, el procedimiento manual y la función del programa deben adoptar la misma convención de conteo. Esto no elimina el valor pedagógico de la simulación, pero sí importa cuando se busca equivalencia numérica exacta.
La enseñanza más general desborda ampliamente el programa R. La simulación permite observar qué significa operacionalmente una distribución: no solamente cuál es la apariencia de su fórmula, sino también qué clase de mecanismo repetido podría producir datos con esa forma.
NB1, Bayes y los anexos: por qué el trabajo sigue ampliando el marco
Los anexos extienden el mismo enfoque relacional. El artículo diferencia la NB2 de la NB1, subrayando que distintas parametrizaciones de la binomial negativa responden a preguntas de conteo ligeramente diferentes. En la presentación de la NB1 utilizada allí, la variable aleatoria representa el número total de ensayos de Bernoulli necesarios para alcanzar r eventos del tipo escogido; en la presentación de la NB2, la variable aleatoria queda restringida al número de fracasos anteriores a esos r éxitos.
El trabajo vuelve asimismo sobre la probabilidad condicional, la probabilidad total, la probabilidad inversa y el bayesianismo objetivo. Esto podría parecer muy alejado del problema de la sobredispersión en datos de conteo, pero cumple la misma función dentro de la tesis filosófica general: las fórmulas estadísticas deben comprenderse por medio de las relaciones que expresan. La probabilidad condicional no constituye simplemente un cociente; representa una dependencia estructurada entre eventos. La actualización bayesiana no es únicamente álgebra; conecta conocimiento previo, evidencia y valoración posterior.
Finalmente, el artículo presenta una expresión más general de la NB2 formulada mediante la función Gamma y recoge estimadores basados en los dos primeros momentos muestrales. Una vez más, esto conecta la distribución abstracta con el trabajo empírico: los parámetros poblacionales adquieren significado aplicado porque la información muestral proporciona una vía para estimarlos.
¿Con qué deberíamos quedarnos?
El trabajo de Gómez Julián se comprende mejor como un argumento prolongado contra la idea de tratar la Distribución Binomial Negativa II como una fórmula de caja negra. Su rasgo distintivo no consiste en proponer un nuevo estimador de NB2 ni un nuevo algoritmo de regresión. Consiste en intentar reconstruir la distribución mediante diferentes dimensiones simultáneamente: histórica, algebraica, probabilística, computacional, aplicada y filosófica.
Para el lector no técnico, la enseñanza estadística central puede resumirse en una sola frase: cuando los conteos varían más de lo que permite un modelo de Poisson con una única tasa, esa variabilidad adicional puede interpretarse frecuentemente como heterogeneidad en la tasa subyacente de ocurrencia, y la familia binomial negativa proporciona una manera natural de representarla.
Para el econometrista, la característica fundamental es la función de varianza de la NB2, Var(Y) = μ + αμ². Para el matemático, el trabajo constituye una invitación a seguir las transformaciones que conectan series geométricas, expansiones binomiales, funciones Gamma, distribuciones condicionales y marginalización. Para el filósofo de la ciencia, su afirmación principal es metodológica: el instrumento formal, el objeto científico, la historia del instrumento y la interpretación de la incertidumbre deberían estudiarse en relación y no de forma aislada.
Y para el investigador aplicado, quizá la pregunta más útil sea también la más sencilla: ¿qué proceso tendría que estar operando para que esta distribución fuese un instrumento de medición razonable? Una vez formulada esa pregunta, la NB2 deja de ser simplemente una corrección conveniente frente a la sobredispersión. Se convierte en una hipótesis acerca de cómo ingresa la heterogeneidad en el proceso generador de los datos.
Una distribución resulta más informativa cuando su ley de probabilidad y la historia de su mecanismo generador cuentan la misma historia científica.
En un mapa compacto
Bernoulli proporciona el ensayo elemental de éxito o fracaso;
la Binomial agrega esos ensayos para un tamaño fijo;
Poisson convierte en estocástico el número o la tasa de ocurrencias;
la heterogeneidad Gamma permite que dicha tasa de Poisson varíe entre unidades;
al marginalizar la tasa latente aparece la Distribución Binomial Negativa II, cuya varianza puede superar a su media.
Esta explicación sigue la arquitectura y los objetivos sustantivos del trabajo de Gómez Julián, distinguiendo al mismo tiempo el marco filosófico propio del artículo de las precisiones técnicas añadidas aquí con fines de exactitud matemática.
