ANÁLISIS TEÓRICO DE LA FUNCIÓN CUANTIL EN R STUDIO

isadore nabi

Se sabe que la sintaxis qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE or FALSE, log.p = TRUE or FALSE) es para calcular una probabilidad p de una distribución normal estándar con media m=0 y error estándar de s=1. Sabemos también que la función cuantil está asociada con una distribución de probabilidad de una variable aleatoria y que especifica el valor de la variable aleatoria de manera que la probabilidad de que la variable sea menor o igual a ese valor es igual a la probabilidad dada (que en la sintaxis de R se designa como p); cabe mencionar que también se llama función de punto porcentual o función de distribución acumulativa inversa. Según la documentación de R sobre la sintaxis, su componente “lower.tail = TRUE or FALSE” menciona que “logical; if TRUE (default), probabilities are P[X ≤ x], otherwise, P[X > x]”, lo que implicaría, dado todo lo anterior, que esa sintaxis (utilizada con la configuración inicial – lower.tail = TRUE-) calcula el valor umbral x por debajo del cual se encuentran las observaciones sobre el fenómeno de estudio en una proporción P de las ocasiones (nótese aquí una definición frecuentista de probabilidad), incluyendo el umbral en cuestión.

Así, la función cuantil es la función inversa de la función de distribución acumulada y es de importancia fundamental en las Probabilidades y la Estadística porque en ocasiones no es posible definir la función de distribución acumulada, entonces se trabaja con su inversa. En términos más intuitivos, la función de distribución acumulada  permite conocer la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a un valor especificado , mientras que la función cuantil muestra sintéticamente (mediante el análisis del valor umbral que arroja) la cantidad de valores que se encuentran por debajo del umbral (incluyendo al umbral, es decir, P[X ≤ x]) y cuáles son estos valores; evidentemente la relación anterior se puede invertir y hablar de los que se encuentren por encima del valor umbral (sin incluir al umbral, es decir, P[X > x]), todo depende de las necesidades del investigador y del planteamiento teórico del problema.

Finalmente, si se utiliza la sintaxis de R “qK(c, …)” (siendo K cualquier función de distribución) se están calculando los intervalos de confianza con la función cuantil y no con la función de distribución acumulada, para garantizarte que siempre sea posible realizar tal cálculo, en caso la función de distribución acumulada no exista, trabajando con su función inversa.

Por ejemplo, la función percentil sirve para responder a preguntas como  “¿Cuál es la nota en la cual se acumula el 78.5% de los estudiantes?”. Por supuesto, la pregunta no habla de en qué sentido se acumula esa proporción de los estudiantes ni especifica si se incluye el punto alrededor del cual se acumula tal proporción de estudiantes. Para el caso en que la pregunta  “cuál es la nota debajo de la cual está el x porcentaje de los alumnos” y se respondería en sus dos sentidos de la siguiente manera (si se define x = rnorm):

qnorm(0.7850824,72,15.2) = 84, que será inicialmente P[X ≤ x]. Aquí, el 78.5% de los estudiantes tienen una nota menor o igual a 84.

qnorm(0.7850824,72,15.2,lower.tail = F) = 60, que la configuración personalizada para obtener el complemento de probabilidad P[X > x]. Aquí, el 78.5% de los estudiantes tienen una nota mayor que 60.

Figura 1

Además, puede verse que el valor umbral para el cual se cumple que P [X ≤ x] es igual al valor umbral  (1-P) [X > x] o, lo que es lo mismo, el valor umbral x por debajo del cual se encuentran las observaciones sobre el fenómeno de estudio en una proporción P de las ocasiones (incluyendo el umbral en cuestión) es igual al valor umbral por encima del cual se encuentran las observaciones sobre el fenómeno de estudio en una proporción complementaria (1-P) de las ocasiones (sin incluir el umbral en cuestión).

Figura 2