En matemática y en las ciencias naturales aparece repetidamente una distinción que, aunque adopta formas diferentes según el campo de estudio, posee una enorme importancia: la diferencia entre las propiedades que dependen de una realización métrica concreta y aquellas que dependen principalmente de la estructura de relaciones entre los componentes de un sistema. La distinción no autoriza a identificar entre sí conceptos matemáticos diferentes, pero sí permite examinar un problema común: qué cambia cuando un sistema se deforma y qué relaciones permanecen relevantes para su comportamiento.

La teoría de grafos ofrece una primera entrada intuitiva al problema. El comportamiento colectivo de las aves proporciona después una aplicación empírica especialmente interesante. En este último caso, una pregunta aparentemente simple —¿interactúa un ave con aquellas que se encuentran a cierta cantidad de metros, o con un determinado número de vecinos?— conduce a dos estructuras de interacción radicalmente distintas.

1. Grafos, estructura y representación geométrica

En teoría de grafos se denomina grafo al par:

donde \(V\) es un conjunto de vértices y \(E\) un conjunto de aristas que relacionan pares de vértices. Un grafo puede dibujarse sobre un plano, pero el dibujo no debe confundirse con el objeto matemático mismo. La posición exacta de los puntos, los ángulos y las longitudes de las líneas utilizadas para representarlo pueden cambiar sin que cambie la estructura del grafo.

Sean ahora dos grafos \(G_1\) y \(G_2\). Un isomorfismo de grafos es una biyección:

que preserva la adyacencia:

Si existe una función de esta naturaleza, ambos grafos poseen la misma estructura combinatoria aunque sus representaciones geométricas tengan apariencias diferentes.

La preservación de las aristas implica también la preservación de la distancia de grafo, entendida como el número mínimo de aristas que debe recorrerse para conectar dos vértices:

Pero esto no significa que un isomorfismo preserve las distancias euclidianas de un dibujo particular. Dos vértices pueden estar separados por dos centímetros en una representación y por veinte en otra sin que cambie el grafo. Lo que permanece es la estructura de adyacencias y, derivadamente, la distancia combinatoria.

2. Tres sentidos diferentes de «topológico»

Antes de pasar al comportamiento colectivo es necesario introducir una precisión. La palabra topológico aparece en contextos matemáticos y científicos diferentes, pero su presencia no convierte automáticamente esos conceptos en equivalentes.

Un homeomorfismo, por ejemplo, no tiene por qué conservar distancias. Cuando una transformación preserva exactamente una métrica hablamos de una isometría, que es una condición más fuerte. De la misma forma, la «distancia topológica» utilizada en estudios de bandadas no es una distancia de grafo ni una métrica topológica: es, operacionalmente, el rango ordinal de un vecino.

Existe, sin embargo, una analogía estructural legítima entre estos campos. Todos obligan a distinguir entre una realización métrica concreta y ciertas relaciones que pueden permanecer identificables cuando esa realización cambia. La analogía puede ser filosóficamente fecunda siempre que no se la convierta en identidad matemática.

3. El problema de las bandadas

Los modelos de comportamiento colectivo buscan explicar cómo interacciones locales entre individuos pueden generar propiedades macroscópicas: movimiento coordinado, cohesión, formación de grupos y respuesta colectiva ante perturbaciones.

Una forma natural de construir tales modelos consiste en suponer que la interacción depende de la distancia métrica. Si \(r_{ij}\) es la distancia física entre dos aves, podemos imaginar una intensidad de interacción:

donde, en términos generales, la influencia disminuye al aumentar \(r_{ij}\), o desaparece una vez superado cierto radio \(r_c\).

En un modelo de esta naturaleza, un ave podría interactuar con todos los individuos situados dentro de cinco metros. La consecuencia es inmediata: el número de vecinos relevantes depende de la densidad de la bandada. A igual radio métrico, una bandada densa contiene más vecinos que una dispersa.

La hipótesis alternativa consiste en hacer depender la interacción del orden de vecindad. Si \(n_{ij}\) representa el rango de \(j\) entre los vecinos de \(i\), podemos escribir esquemáticamente:

En su forma más simple, cada individuo interactuaría fundamentalmente con sus primeros \(n_c\) vecinos, cualquiera sea la cantidad de metros que los separa.

4. La evidencia empírica de STARFLAG

Durante mucho tiempo, la elección entre estas dos estructuras se realizó principalmente mediante supuestos de modelización. La situación cambió cuando el proyecto STARFLAG consiguió reconstruir tridimensionalmente las posiciones de aves individuales dentro de grandes bandadas de estorninos.

La reconstrucción espacial permitió estudiar no sólo la distancia entre individuos, sino la distribución angular de cada vecino respecto de un ave de referencia y de la dirección de movimiento de la bandada.

El primer resultado llamativo fue una marcada anisotropía: el vecino más próximo no aparecía con igual probabilidad en todas las direcciones. En particular, había una escasez relativa de vecinos alineados exactamente con la dirección de avance.

La distribución del décimo vecino más próximo, en cambio, se aproximaba mucho más a una distribución isotrópica. Esto sugería que la estructura creada por la interacción se debilitaba al aumentar el orden del vecino.

5. Anisotropía y rango de interacción

Ballerini et al. (2008) cuantificaron esta estructura mediante un factor de anisotropía \(\gamma(n)\). Conviene definirlo correctamente, porque no se trata del parámetro \(\gamma\) utilizado con otros significados en geofísica, mecánica o teoría de ondas. La coincidencia de la letra griega no implica identidad entre las magnitudes.

Sea \(\vec u_i^{(n)}\) el vector unitario que, desde el ave \(i\), apunta hacia su \(n\)-ésimo vecino más próximo. Se construye la matriz:

El autovector unitario \(\vec W^{(n)}\) asociado al menor autovalor de \(M^{(n)}\) identifica la dirección de menor densidad de los vectores que apuntan hacia el \(n\)-ésimo vecino. Si \(\vec V\) representa la dirección del movimiento colectivo, se define:

Para una distribución espacial isotrópica, el valor esperado es:

Valores sistemáticamente superiores a \(1/3\) indican estructura anisotrópica respecto de la dirección de movimiento. En los datos de estorninos, \(\gamma(n)\) desciende a medida que aumenta el orden del vecino hasta alcanzar aproximadamente el valor isotrópico.

El punto en el cual la estructura deja de distinguirse del estado isotrópico permite definir un rango de interacción \(n_c\). El resultado empírico central fue:

En otras palabras, cada estornino parecía responder, en promedio, a un número relativamente estable de vecinos —aproximadamente seis o siete—, y no a todos los individuos contenidos dentro de una distancia fija en metros.

6. La prueba decisiva: variar la densidad

Un único valor de \(n_c\) no basta por sí solo para distinguir entre ambas hipótesis, porque un determinado número de vecinos también podría surgir accidentalmente de un radio métrico en una bandada de densidad determinada. La diferencia se vuelve identificable cuando comparamos bandadas con densidades distintas.

Sea \(r_1\) la distancia media al vecino más próximo, que funciona como una medida de la dispersión de la bandada, y sea \(r_c\) la distancia física correspondiente al vecino situado en el límite topológico \(n_c\).

Si la interacción fuese esencialmente métrica, esperaríamos que \(r_c\) permaneciera aproximadamente constante al cambiar la densidad. El número de vecinos incluidos dentro de ese radio debería entonces variar.

Si la interacción fuese esencialmente topológica, esperaríamos que \(n_c\) permaneciera aproximadamente constante, mientras que \(r_c\) aumentaría en bandadas dispersas y disminuiría en bandadas densas.

Los resultados de Ballerini et al. favorecieron claramente la segunda hipótesis. El rango topológico permanecía aproximadamente estable entre bandadas de distinta densidad, mientras que el rango métrico correspondiente cambiaba con la dispersión de la bandada.

7. Cohesión y robustez ante perturbaciones

La distinción no es únicamente descriptiva. Tiene consecuencias dinámicas. Supóngase que una bandada regida por un radio métrico se expande bruscamente ante un depredador. Si las distancias interindividuales superan el radio de interacción, algunos vínculos pueden desaparecer precisamente en el momento en que el sistema está sometido a una perturbación intensa.

Una regla basada en un número de vecinos es menos sensible a ese tipo de expansión: aunque aumente la separación física, cada ave puede continuar respondiendo al mismo número aproximado de individuos. Las simulaciones presentadas junto con los resultados de STARFLAG mostraron una cohesión considerablemente mayor bajo interacciones topológicas que bajo una regla métrica estándar.

Esto da un sentido dinámico concreto a la estabilidad estructural. Lo que permanece no es una distancia geométrica particular, sino una relación de vecindad que puede sobrevivir a cambios importantes de densidad y forma.

8. La regla de interacción puede cambiar

El resultado anterior no debe convertirse, sin embargo, en una nueva afirmación universal según la cual todo comportamiento colectivo animal sería «topológico». La investigación posterior proporciona una enseñanza todavía más interesante.

Ling et al. (2019), estudiando grajillas silvestres mediante reconstrucciones tridimensionales, encontraron que la misma especie podía utilizar reglas diferentes según el contexto ecológico.

Esto modifica profundamente la interpretación. La regla de interacción no tiene por qué ser una propiedad eterna de la especie. Puede ser una propiedad del régimen dinámico concreto en que se encuentran los individuos.

Durante un vuelo coordinado de tránsito, mantener relaciones con un número relativamente estable de vecinos puede favorecer el orden colectivo a distintas densidades. En una situación antipredatoria localizada, una regla métrica puede permitir otra organización de las respuestas. La estructura efectiva de interacción cambia con las condiciones materiales del comportamiento.

Lejos de debilitar la importancia del resultado topológico, esta plasticidad evita convertir una regularidad empírica en dogma. Nos obliga a investigar qué relación es objetivamente dominante en cada proceso.

9. Una interpretación estructural

Podemos volver ahora al punto de partida. En teoría de grafos, dos realizaciones geométricas muy distintas pueden poseer la misma estructura de adyacencias. En las bandadas de estorninos estudiadas por STARFLAG, densidades y distancias métricas diferentes podían conservar aproximadamente el mismo rango de interacción. Son resultados pertenecientes a campos distintos y no deben confundirse matemáticamente. Pero ambos permiten formular una misma pregunta filosófica: ¿qué propiedades de un sistema son meramente contingentes a una realización concreta y cuáles organizan efectivamente su comportamiento?

No sería correcto definir una «distancia topológica» en general como una distancia que permanece invariante ante perturbaciones. La topología matemática no se define de esa forma y, de hecho, los homeomorfismos no preservan necesariamente distancias. Tampoco sería correcto identificar el rango ordinal de vecinos de STARFLAG con la distancia de un grafo.

Pero sí podemos afirmar algo más preciso y, a mi juicio, más importante: una propiedad relacional puede resultar más estable y explicativamente más profunda que una magnitud métrica particular. Cuando el sistema cambia de densidad y conserva una regla de vecindad, esa regularidad constituye información objetiva sobre su organización.

Desde una perspectiva materialista, lo esencial no debe determinarse por decreto terminológico. No podemos afirmar de antemano que «lo topológico» sea siempre la esencia y «lo métrico» una mera apariencia. La propia evidencia sobre grajillas muestra que una regla métrica puede convertirse en la relación dinámica relevante bajo determinadas condiciones.

La esencia, si queremos emplear esa categoría, debe buscarse en el conjunto de relaciones que generan, reproducen y transforman el comportamiento del sistema en condiciones concretas. Una misma forma material puede atravesar diferentes regímenes y, con ellos, cambiar la estructura efectiva de sus interacciones.

El caso de las bandadas resulta particularmente ilustrativo porque muestra cómo esta determinación puede someterse a contraste empírico. La pregunta «¿metros o vecinos?» no se resuelve mediante una preferencia filosófica. Se resuelve reconstruyendo posiciones, comparando densidades, midiendo anisotropías y observando qué variable conserva poder explicativo.

En esto reside, precisamente, la importancia metodológica del ejemplo. Las matemáticas ofrecen diferentes formas de representar un objeto; la ciencia debe establecer cuál de ellas corresponde, dentro de los límites pertinentes, a las relaciones reales que producen el fenómeno.