## Rank and trace are equal for a real symmetric idempotent matrix

Proposition. Let \$latex mathbf{X} in mathbb{R}^{n times n}\$ be a matrix that is symmetric (\$latex mathbf{X}^top = mathbf{X}\$) and idempotent (\$latex mathbf{X}^2 = mathbf{X}\$). Then the rank of \$latex mathbf{X}\$ is equal to the trace of \$latex mathbf{X}\$. In fact, they are both equal to the sum of the eigenvalues of \$latex mathbf{X}\$.

The proof is relatively straightforward. Since \$latex mathbf{X}\$ is real and symmetric, it is orthogonally diagonalizable, i.e. there is an orthogonal matrix \$latex mathbf{U}\$ (\$latex mathbf{U}^top mathbf{U} = mathbf{I}\$) and a diagonal matrix \$latex mathbf{D}\$ such that \$latex mathbf{D} = mathbf{UXU}^top\$ (see here for proof).

Since \$latex mathbf{X}\$ is idempotent,

\$latex begin{aligned} mathbf{X}^2 &= mathbf{X},
mathbf{U}^top mathbf{D}^2 mathbf{U} &= mathbf{U}^T mathbf{DU},
mathbf{D}^2 &= mathbf{D}. end{aligned}\$

Since \$latex mathbf{D}\$ is a diagonal matrix, it implies that the entries on the diagonal must be zeros or ones. Thus, the number of ones on the diagonal (which is \$latex text{rank}(mathbf{D})…

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## Asymptotic distribution of the Pearson chi-square statistic

I recently learned of a fairly succinct proof for the asymptotic distribution of the Pearson chi-square statistic (from Chapter 9 of Reference 1), which I share below.

First, the set-up: Assume that we have \$latex n\$ independent trials, and each trial ends in one of \$latex J\$ possible outcomes, which we label (without loss of generality) as \$latex 1, 2, dots, J\$. Assume that for each trial, the probability of the outcome being \$latex j\$ is \$latex p_j > 0\$. Let \$latex n_j\$ denote that number of trials that result in outcome \$latex j\$, so that \$latex sum_{j=1}^J n_j = n\$. Pearson’s \$latex chi^2\$-statistic is defined as

\$latex begin{aligned} chi^2 = sum_{text{cells}} dfrac{(text{obs} – text{exp})^2}{text{exp}} = sum_{j=1}^J dfrac{(n_j – np_j)^2}{np_j}. end{aligned}\$

Theorem. As \$latex n rightarrow infty\$, \$latex chi^2 stackrel{d}{rightarrow} chi_{J-1}^2\$, where \$latex stackrel{d}{rightarrow}\$ denotes convergence in distribution.

Before proving the theorem, we prove a lemma that we will…

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## SOBRE LA CREACIÓN Y DESTRUCCIÓN DE VALOR EN LOS SISTEMAS DE ECONOMÍA POLÍTICA CAPITALISTA EN PARTICULAR Y EN LOS SISTEMAS ECONÓMICOS EN GENERAL (BORRADOR)

### REFERENCIAS

Alan. (25 de Julio de 2011). ENGLISH LENGUAGE & USAGE. Obtenido de Stack Exchange: https://english.stackexchange.com/questions/35508/difference-between-partly-and-partially#:~:text=Use%20partly%20when%20the%20%22in,it’s%20also%20%22partly%20closed%22.

Andrews, D. W. (1991). An Empirical Process Central Limit Theorem for Dependent Non-identically Distributed Random Variables . Journal of Multivariate Analysis, 187-203.

Berk, K. (1973). A CENTRAL LIMIT THEOREM FOR m-DEPENDENT RANDOM VARIABLES WITH UNBOUNDED m. The Annals of Probability, 1(2), 352-354.

Borisov, E. F., & Zhamin, V. A. (2009). Diccionario de Economía Política. (L. H. Juárez, Ed.) Nueva Guatemala de la Asunción, Guatemala, Guatemala: Tratados y Manuales Grijalbo.

Cockshott, P., & Cottrell, A. (2005). Robust correlations between prices and labor values. Cambridge Journal of Economics, 309-316.

Cockshott, P., Cottrell, A., & Valle Baeza, A. (2014). The Empirics of the Labour Theory of Value: Reply to Nitzan and Bichler. Investigación Económica, 115-134.

Cockshott, P., Cottrell, A., & Zachariah, D. (29 de Marzo de 2019). Against the Kliman theory. Recuperado el 22 de Marzo de 2021, de Paul Cockshott: http://paulcockshott.co.uk/publication-archive/Talks/politicaleconomy/Against%20the%20Kliman%20price%20theory.pdf

Dedecker, J., & Prieur, C. (2007). An empirical central limit theorem for dependent sequences. Stochastic Processes and their Applications, 117, 121-142.

Díaz, E., & Osuna, R. (2007). Indeterminacy in price–value correlation measures. Empirical Economics, 389-399.

Emmanuel, A. (1972). El Intercambio Desigual. Ensayo sobre los antagonismos en las relaciones económicas internacionales. México, D.F.: Sigloveintiuno editores, s.a.

Farjoun, E., & Marchover, M. (1983). Laws of Chaos. A Probabilistic Approach to Political Economy. Londres: Verso Editions and NLB.

fast.ai. (3 de Diciembre de 2017). How to calculate Weighted Mean Absolute Error (WMAE)? Obtenido de Forums: https://forums.fast.ai/t/how-to-calculate-weighted-mean-absolute-error-wmae/8575

Flaschel, P., & Semmler, W. (1985). The Dynamic Equalization of Profit Rates for Input-Output Models with Fixed Capital. En Varios, & W. Semmler (Ed.), Competition, Instability, and Nonlinear Cycles (págs. 1-34). New York: Springer-Verlag.

Flores Morador, F. (2013). Marx and the Moral Depreciation of Technology: Labor Value as Information. Social Science Research Network Electronic Journal, 1-16. Obtenido de https://internt.ht.lu.se/media/documents/project-778/Marx_and_the_moral_depreciation_of_technology.pdf

Fröhlich, N. (2012). Labour values, prices of production and the missing equalisation tendency of profit rates: evidence from the German economy. Cambridge Journal of Economics, 37(5), 1107-1126.

Glick, M., & Ehrbar, H. (1988). Profit Rate Equalization in the U.S. and Europe: An Econometric Investigation. European Journal of Political Economy, 179-201.

Gloria-Palermo, S. (2010). Introducing Formalism in Economics: The Growth Model of John von Neumann. Panoeconomicus, 153-172.

Godwin, H., & Zaremba, S. (1961). A Central Limit Theorem for Partly Dependent Variables. The Annals of Mathematical Statistics, 32(3), 677-686.

Guerrero, D. (Octubre-diciembre de 1997). UN MARX IMPOSIBLE: EL MARXISMO SIN TEORÍA LABORAL DEL VALOR. 57(222), 105-143.

Investopedia. (23 de Agosto de 2020). The Difference Between Standard Deviation and Average Deviation. Obtenido de Advanced Technical Analysis Concepts : https://www.investopedia.com/ask/answers/021215/what-difference-between-standard-deviation-and-average-deviation.asp

Kliman, A. (2002). The law of value and laws of statistics: sectoral values and prices in the US economy, 1977-97. Cambridge Journal of Economics, 299-311.

Kliman, A. (2005). Reply to Cockshott and Cottrell. Cambridge Journal of Economics, 317-323.

Kliman, A. (2014). What is spurious correlation? A reply to Díaz and Osuna. Journal of Post Keynesian Economics, 21(2), 345-356.

KO, M.-H., RYU, D.-H., KIM, T.-S., & CHOI, Y.-K. (2007). A CENTRAL LIMIT THEOREM FOR GENERAL WEIGHTED SUMS OF LNQD RANDOM VARIABLES AND ITS APPLICATION. ROCKY MOUNTAIN JOURNAL OF MATHEMATICS, 37(1), 259-268.

Kuhn, T. (2011). La Estructura de las Revoluciones Científicas. México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Kuroki, R. (1985). The Equalizartion of the Rate of Profit Reconsidered. En W. Semmler, Competition, Instability, and Nonlinear Cycles (págs. 35-50). New York: Springer-Velag.

Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1994). Curso de Física Teórica. Mecánica (Segunda edición corregida ed.). (E. L. Vázquez, Trad.) Barcelona: Reverté, S.A.

Leontief, W. (1986). Input-Output Economics. Oxford, United States: Oxford University Press.

Levins, R. (Diciembre de 1993). A Response to Orzack and Sober: Formal Analysis and the Fluidity of Science. The Quarterly Review of Biology, 68(4), 547-55.

LI, X.-p. (2015). A Central Limit Theorem for m-dependent Random Variables under Sublinear Expectations. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 31(2), 435-444. doi:10.1007/s10255-015-0477-1

Marquetti, A., & Foley, D. (25 de Marzo de 2021). Extended Penn World Tables. Obtenido de Extended Penn World Tables: Economic Growth Data assembled from the Penn World Tables and other sources : https://sites.google.com/a/newschool.edu/duncan-foley-homepage/home/EPWT

Marx, K. H. (1989). Contribución a la Crítica de la Economía Política. (M. Kuznetsov, Trad.) Moscú: Editorial Progreso.

Marx, K. H. (2010). El Capital (Vol. I). México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Mindrila, D., & Balentyne, P. (2 de Febrero de 2021). Scatterplots and Correlation. Obtenido de University of West Georgia: https://www.westga.edu/academics/research/vrc/assets/docs/scatterplots_and_correlation_notes.pdf

Mora Osejo, L. (1 de Enero de 1992). Reseñas y Comentarios. John von Neumann and Modern Economics. Goodwin, Dore, Chakavarty. Cuadernos de Economía, 12(17), 215-221. Obtenido de https://revistas.unal.edu.co/index.php/ceconomia/article/view/19349/20301

Moseley, F. (2015). Money and Totality. Leiden, South Holland, Netherlands: BRILL.

Nabi, I. (2020). SOBRE LA LEY DE LA TENDENCIA DECRECIENTE DE LA TASA MEDIA DE GANANCIA. Raíces Unitarias y No Estacionariedad de las Series de Tiempo. Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.files.wordpress.com/2020/12/analisis-del-uso-de-la-prueba-de-hipotesis-en-el-contexto-de-la-especificacion-optima-de-un-modelo-de-regresion-isadore-nabi-2.pdf

Nabi, I. (2021). Lecciones de Gnoseología Marxiana I. Documento Inédito. Obtenido de https://marxianstatistics.com/2021/04/09/lecciones-de-gnoseologia-marxiana-i-lessons-of-marxian-gnoseology-i/

NABI, I. (1 de Abril de 2021). SOBRE LA METODOLOGÍA DEL U.S. BUREAU OF ECONOMIC ANALYSIS PARA LA REDEFINICIÓN Y REASIGNACIÓN DE PRODUCTOS EN LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DE ESTADOS UNIDOS. Obtenido de ECONOMÍA POLÍTICA: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/sobre-la-metodologia-del-u-s-bureau-of-economic-analysis-para-la-redefinicion-y-reasignacion-de-productos-en-la-matriz-insumo-producto-de-estados-unidos/

NABI, I., & B.A., A. (1 de Abril de 2021). UNA METODOLOGÍA EMPÍRICA PARA LA DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD DE LAS INTERRELACIONES SECTORIALES DENTRO DE LA MATRIZ INSUMO-PRODUCTO DESDE LOS CUADROS DE PRODUCCIÓN Y USOS PARA EL CASO DE ESTADOS UNIDOS 1997-2019. Obtenido de EL BLOG DE ISADORE NABI: https://marxianstatistics.com/2021/04/01/una-metodologia-empirica-para-la-determinacion-de-la-magnitud-de-las-interrelaciones-sectoriales-dentro-de-la-matriz-insumo-producto-desde-los-cuadros-de-oferta-utilizacion-para-el-caso-de-estados-uni/

OECD. (25 de Septiembre de 2005). SCRAPPING. Obtenido de GLOSSARY OF STATISTICAL TERMS: https://stats.oecd.org/glossary/detail.asp?ID=2395

Parzen, E. (1957). A Central Limit Theorem for Multilinear Stochastic Processes. The Annals of Mathematical Statistics, 28(1), 252-256.

Pasinetti, L. (1984). Lecciones Sobre Teoría de la Producción. (L. Tormo, Trad.) México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Real Academia Española. (18 de 03 de 2021). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Edición del Tricentenario | Actualización 2020: https://dle.rae.es/transitar?m=form

Real Academia Española. (23 de Marzo de 2021). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Edición Tricentenario | Actualización 2020: https://dle.rae.es/ecualizar?m=form

Rosental, M. M., & Iudin, P. F. (1971). DICCIONARIO FILOSÓFICO. San Salvador: Tecolut.

Rosental, M., & Iudin, P. (1971). Diccionario Filosófico. San Salvador: Tecolut.

Sánchez, C. (Diciembre de 2013). Inconsistencia de la teoría neoclásica: aplicación del análisis dimensional a la economía. ECONOMÍA HOY, 4-6. Obtenido de https://www.uca.edu.sv/economia/wp-content/uploads/012-ECONOMIA-HOY-A-DIC2013.pdf

Sánchez, C., & Ferràndez, M. N. (Octubre-diciembre de 2010). Valores, precios de producción y precios de mercado a partir de los datos de la economía española. Investigación Económica, 87-118. Obtenido de https://www.jstor.org/stable/42779601?seq=1

Sánchez, C., & Montibeler, E. E. (2015). La teoría del valor trabajo y los precios en China. Economia e Sociedade, 329-354.

StackExchange. (12 de Enero de 2014). Mean absolute deviation vs. standard deviation. Obtenido de Cross Validated: https://stats.stackexchange.com/questions/81986/mean-absolute-deviation-vs-standard-deviation

Steedman, I., & Tomkins, J. (1998). On measuring the deviation of prices from values. Cambridge Journal of Economics, 379-385.

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Domestic Supply of Commodities by Industries (Millions of dollars). Obtenido de Input-Output Accounts Data | Data Files. Supply Tables – Domestic supply of commodities by industry ● 1997-2019: 15 Industries iTable, 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=52&step=102&isuri=1&table_list=3&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Domestic Supply of Commodities by Industries (Millions of dollars). Obtenido de Input-Output Accounts Data | Supplemental Estimate Tables. After Redefinition Tables. Make Tables/After Redefinitions – Production of commodities by industry after redefinition of secondary production ● 1997-2019: 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=58&step=102&isuri=1&table_list=5&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Use of Commodities by Industries. Obtenido de Input-Output Accounts Data | Data Files. Use Tables – Use of commodities by industry ● 1997-2019: 15 Industries iTable, 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=52&step=102&isuri=1&table_list=4&aggregation=sum

U.S. Bureau of Economic Analysis. (1 de Abril de 2021). The Use of Commodities by Industries. Obtenido de Input-Output Accounts Data | Supplemental Estimate Tables. After Redefinition Tables. Use Tables/After Redefinitions/Producer Value – Use of commodities by industry after reallocation of inputs ● 1997-2019: 71 Industries iTable: https://apps.bea.gov/iTable/iTable.cfm?reqid=58&step=102&isuri=1&table_list=6&aggregation=sum

Valle Baeza, A. (1978). Valor y Precios de Producción. Investigación Económica, 169-203.

Walras, L. (1954). Elements of Pure Economics or The Theory of Social Wealth. (W. Jaffé, Trad.) Homewood, Ilinois, Estados Unidos: Richard D. Irwin, Inc.

Wikipedia. (25 de Enero de 2021). Trabajo (física). Obtenido de Magnitudes termodinámicas: https://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)

Wikipedia. (17 de Marzo de 2021). Work (physics). Obtenido de Energy (physics): https://en.wikipedia.org/wiki/Work_(physics)

Wooldridge, J. M. (2010). Introducción a la Econometría. Un Enfoque Moderno (Cuarta ed.). México, D.F.: Cengage Learning.

Zachariah, D. (Junio de 2006). Labour value and equalisation of profit rates: a multi-country study. Indian Development Review, 4, 1-20.

## SOBRE EL ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES (PCA)

### REFERENCIAS

Adler, J. (2012). R in a Nutshell (Segunda ed.). Sebastopol, Crimea, Rusia: O’Reilly.

Alger, N. (4 de Marzo de 2013). Intuitively, what is the difference between Eigendecomposition and Singular Value Decomposition? Obtenido de StackExchange Mathematics: https://math.stackexchange.com/questions/320220/intuitively-what-is-the-difference-between-eigendecomposition-and-singular-valu

Bellman, R. (1972). Dynamic Programming (Sexta Impresión ed.). New Jersey: Princeton University Press.

Dunn, K. G. (3 de Marzo de 2021). Process Improvement Using Data. Hamilton, Ontario, Canadá: Learning Chemical Engineering. Obtenido de 6.5. Principal Component Analysis (PCA) | 6. Latent Variable Modelling: https://learnche.org/pid/PID.pdf?60da13

Jollife, I. (2002). Principal Component Analysis. New York: Springer-Verlag.

Minitab. (18 de Abril de 2019). Interpretar todos los estadísticos y gráficas para Análisis de componentes principales. Obtenido de Soporte de Minitab 18: https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/modeling-statistics/multivariate/how-to/principal-components/interpret-the-results/all-statistics-and-graphs/

MIT. (23 de Febrero de 2021). Linear transformations and their matrices. Obtenido de Linear Algebra: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/positive-definite-matrices-and-applications/linear-transformations-and-their-matrices/MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf

Nabi, I. (2020). Sobre los Estimadores de Bayes, el Análisis de Grupos y las Mixturas Gaussianas. Documento inédito.

Nabi, I. (3 de Abril de 2021). ¿Por qué se realiza un ajuste por re-escalamiento, normalización o estandarización sobre los datos en el contexto del aprendizaje automático? Obtenido de El Blog de Isadore Nabi: https://marxianstatistics.com/2021/04/03/por-que-se-realiza-un-ajuste-por-re-escalamiento-normalizacion-o-estandarizacion-sobre-los-datos-en-el-contexto-del-aprendizaje-automatico/

Nabi, I. (2 de Abril de 2021). Una Interpretación Multidisciplinaria de los Espacios Característicos, Vectores Característicos y Valores Característicos. Obtenido de El Blog de Isadore Nabi: https://marxianstatistics.files.wordpress.com/2021/04/una-interpretacion-multidisciplinaria-de-los-espacios-caracteristicos-vectores-caracteristicos-y-valores-caracteristicos-isadore-nabi-1.pdf

Pearson, K. (1901). LIII. On lines and planes of closest fit to systems of points in space. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, II(11), 559-572. Obtenido de https://www.semanticscholar.org/paper/LIII.-On-lines-and-planes-of-closest-fit-to-systems-F.R.S./cac33f91e59f0a137b46176d74cee55c7010c3f8

Stack Exchange. (13 de Marzo de 2015). Understanding proof of isometry implies isomorphism. Obtenido de Mathematics: https://math.stackexchange.com/questions/1188730/understanding-proof-of-isometry-implies-isomorphism/1188732

Starmer, J. (2 de Abril de 2018). Principal Component Analysis (PCA). Obtenido de StatQuest: https://www.youtube.com/watch?v=FgakZw6K1QQ

Universidad Carlos III de Madrid. (7 de Noviembre de 2006). Análisis de Componentes Principales. Obtenido de Proceso de extracción de factores: http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/AMult/tema3am.pdf

Universitat de Girona. (24 de Enero de 2002). Número de factores a conservar. Obtenido de Análisis factorial: http://www3.udg.edu/dghha/cat/secciogeografia/prac/models/factorial(5).htm

Weisstein, E. (26 de Marzo de 2021). Projection. Obtenido de MathWorld – A Wolfram Web Resource: https://mathworld.wolfram.com/Projection.html

Weisstein, E. (26 de Marzo de 2021). Transformation. Obtenido de MathWorld – A Wolfram Web Resource: https://mathworld.wolfram.com/Transformation.html

Wikipedia. (4 de Noviembre de 2020). Curse of dimensionality. Obtenido de Numerical Analysis: https://en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality

Wikipedia. (25 de Octubre de 2020). Isomorfismo. Obtenido de Álgebra: https://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo

Wikipedia. (26 de Marzo de 2021). Isomorphism. Obtenido de Equivalence (mathematics): https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism

Wikipedia. (22 de Marzo de 2021). Transcripción genética. Obtenido de Biosíntesis: https://es.wikipedia.org/wiki/Transcripci%C3%B3n_gen%C3%A9tica